So geht es: Fünf Stationen. Lies zuerst die Frage, schätze oder probiere – dann schau dir die Animation an. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Farben: Seite / Kante (Länge) · Diagonale, Hypotenuse · Höhe · Fläche.
1 · Der Teich soll doppelt so groß werden
Ein quadratischer Teich hat 1 km Seitenlänge. An jeder Ecke steht ein Baum. Der Teich soll doppelt so groß werden und wieder ein Quadrat sein – die Bäume bleiben stehen, und zwar an Land. Wie lang wird die neue Seite?
Die Seite des neuen Teichs ist die Diagonale d des alten. Pythagoras im halben Quadrat:
√2 ist die positive Zahl, die mit sich selbst malgenommen 2 ergibt: √2 · √2 = 2. Du kannst sie nicht genau als Dezimalzahl hinschreiben – aber du kannst sie genau zeichnen: als Diagonale eines Quadrats mit Seite 1.
2 · Das DIN-Blatt
Ein A4-Blatt in der Mitte gefaltet ergibt A5. Was passiert dabei mit der Form des Blattes?
Kurze Seite 1, lange Seite x. Das halbe Blatt hat die kurze Seite x/2 und die lange Seite 1. Gleiche Form heißt: kurze Seite : lange Seite ist gleich.
Also: lange Seite = kurze Seite · √2. Dazu ist festgelegt: A0 hat 1 m² Fläche.
3 · Die Wurzelspirale
Kannst du eine Strecke zeichnen, die genau √3 lang ist? Und √5? Und wo liegen diese Zahlen auf dem Zahlenstrahl?
Jedes neue Dreieck hat die Katheten √n (die alte Hypotenuse) und 1. Pythagoras: (√n)² + 1² = n + 1, also ist die neue Hypotenuse √(n + 1).
Dreht man die Strecken mit dem Zirkel auf den Zahlenstrahl, sieht man: √2, √3, √5 … liegen zwischen den ganzen Zahlen. Nur bei Quadratzahlen (4, 9, 16 …) ist die Wurzel eine ganze Zahl.
Dreht man die Strecken mit dem Zirkel auf den Zahlenstrahl, sieht man: √2, √3, √5 … liegen zwischen den ganzen Zahlen. Nur bei Quadratzahlen (4, 9, 16 …) ist die Wurzel eine ganze Zahl.
4 · Quer durch den Würfel
Wie lang ist der längste Stab, der in einen Würfel mit Kante 1 passt? Tipp: Er geht von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke. Dreh den Würfel mit der Maus oder dem Finger!
Zweimal Pythagoras: erst im Boden, dann im senkrechten Dreieck.
Würfel: d = a·√2, D = a·√3. Quader: D = √(a² + b² + c²).
5 · Ein Rest, der nie aufgeht (für Expertinnen und Experten)
Gibt es eine winzig kleine Strecke, die genau in die Seite und genau in die Diagonale eines Quadrats passt – ein gemeinsames Maß? Die alten Griechen haben es so ausprobiert: Kürzere Strecke von der längeren wegnehmen, mit dem Rest weitermachen …
Beim Rechteck 5 × 3 endet die Wechselwegnahme: Das letzte Quadrat (Seite 1) passt genau in beide Seiten – gemeinsames Maß. Solche Strecken heißen kommensurabel (gemeinsam messbar).
Beim Quadrat entsteht nach jedem Schritt wieder dasselbe Bild, nur kleiner. Es bleibt immer ein Rest. Also gibt es kein gemeinsames Maß: Seite und Diagonale (1 und √2) sind inkommensurabel. Deshalb kann √2 kein Bruch sein – √2 ist irrational.
Beim Quadrat entsteht nach jedem Schritt wieder dasselbe Bild, nur kleiner. Es bleibt immer ein Rest. Also gibt es kein gemeinsames Maß: Seite und Diagonale (1 und √2) sind inkommensurabel. Deshalb kann √2 kein Bruch sein – √2 ist irrational.
Beweis mit Algebra aufklappen
Annahme: √2 ist doch ein Bruch: √2 = p/q, und der Bruch ist schon vollständig gekürzt.
Also ist p² gerade. Dann ist auch p gerade (denn ungerade · ungerade = ungerade). Schreibe p = 2r:
Also ist auch q² und damit q gerade. Dann kann man p/q durch 2 kürzen – Widerspruch zu „vollständig gekürzt“. Die Annahme war falsch: √2 ist kein Bruch.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Formeln – Grundniveau
Pythagorasa² + b² = c² (c = Hypotenuse, gegenüber dem rechten Winkel)
Diagonale im Quadratd² = a² + a² = 2a² → d = a·√2 (√2 ≈ 1,4142)
Diagonale im Rechteckd = √(a² + b²)
Gleichseitiges Dreieckh² = a² − (a/2)² → h = a/2 · √3 (√3 ≈ 1,7321)
Wurzeln abschätzenk² < n < (k+1)² → k < √n < k+1
Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196
Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196
Mittleres Niveau: DIN-Formate, Raumdiagonalen, Flächen von Dreiecken und Wurzeln ohne Taschenrechner.
Formeln – Mittleres Niveau
DIN-Formatlange Seite = kurze Seite · √2
A0 = 1 m² (841 mm × 1189 mm)
Halbieren: aus An werden zwei An+1
A0 = 1 m² (841 mm × 1189 mm)
Halbieren: aus An werden zwei An+1
Würfeld = a·√2 D = a·√3
QuaderD² = a² + b² + c²
Gleichseitiges Dreieckh = a/2 · √3 A = a²/4 · √3
Wurzelgesetz√(a·b) = √a · √b z. B. √40 = √(4·10) = 2·√10
Expertenniveau: Wurzeln ohne Wurzeltaste, Konstruktionen mit Zirkel, ein echter Beweis und die Frage nach dem gemeinsamen Maß.
Werkzeuge – Expertenniveau
IntervallschachtelungGrenzen quadrieren: 1,7² = 2,89 < 3 < 3,24 = 1,8² → 1,7 < √3 < 1,8. Stelle für Stelle weiter.
Höhensatzh² = p · q mit q = 1: h = √p
Wurzelspirale(√n)² + 1² = n + 1
Indirekter BeweisAnnahme → Folgerungen → Widerspruch → Annahme falsch
WechselwegnahmeKürzere Strecke von der längeren abziehen, mit dem Rest weiter. Geht es auf, ist das letzte Stück das gemeinsame Maß.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3ohne TRFigur 1 leicht · 2 mittel · 3 knifflig
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?Welcher Punkt des kleinen Quadrats liegt genau in der Mitte des großen? Welche Strecke ist zugleich Diagonale des einen und Seite des anderen Quadrats?
Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zieh im großen Quadrat beide Diagonalen. Vergleiche jedes der vier Dreiecke mit dem halben kleinen Quadrat.
Hilfe 3 – Lösung
Jedes der vier Dreiecke ist ein halbes kleines Quadrat: 6 · 6 : 2 = 18.
F = 4 · 18 = 72. (Probe: Diagonale² = 6² + 6² = 72.)
F = 4 · 18 = 72. (Probe: Diagonale² = 6² + 6² = 72.)
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag es dir in einem Satz.
Vergleiche
Das große Quadrat in vier Dreiecke zerlegen – jedes ist ein halbes kleines Quadrat. Das Quadrat auf der Diagonale hat also die doppelte Fläche.Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?Alle markierten Strecken sind gleich lang, überall sind rechte Winkel. Wie lang ist die erste schräge Strecke – und wie lang die zweite? Zähl die Dreiecke.
Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Rechne nicht mit Wurzeln, sondern mit Quadraten: Das Quadrat jeder neuen schrägen Strecke ist das Quadrat der vorigen plus 1² = 1.
Hilfe 3 – Lösung
Quadrate der schrägen Strecken: 1 + 1 = 2, dann 3, 4, 5, 6, 7, 8 und beim achten Dreieck 9.
x² = 9, also x = 3.
x² = 9, also x = 3.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag es dir in einem Satz.
Vergleiche
Mit den Quadraten der Längen weiterzählen statt mit Wurzeln: Jedes Dreieck legt genau 1 dazu. Nach 8 Dreiecken ist x² = 9.Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur?Welche Strecken stehen senkrecht aufeinander? Wo versteckt sich ein rechtwinkliges Dreieck, in dem die rote Strecke die längste Seite ist – und welche Linie fehlt dir dafür?
Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zieh die Diagonale der Bodenfläche. Sie bildet mit der Kante x und der roten Strecke ein rechtwinkliges Dreieck. Rechne mit Quadraten, ohne Wurzel.
Hilfe 3 – Lösung
Bodendiagonale² = 12² + 8² = 144 + 64 = 208.
17² = 208 + x² → 289 − 208 = 81 → x = 9.
17² = 208 + x² → 289 − 208 = 81 → x = 9.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag es dir in einem Satz.