So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest: Was vermutest du? Dann probierst du es aus – tippen, abspielen, Regler schieben. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Abstand (was dazukommt) · Faktor (womit malgenommen wird) · bleibt gleich · ändert sich
Station 1Der Detektiv
Die Zahlen erscheinen eine nach der anderen. Welche Zahl kommt als Nächstes? Tipp sie ein – und finde danach die Regel.
Welche Regel steckt dahinter?
Folge–Treffer: 0
Abstände (was kommt dazu?)–
Faktoren (womit mal?)–
Zwei große Familien – und ein paar Sonderlinge
Eine Zahlenfolge ist eine Liste a1, a2, a3, … Die Zahl an heißt n-tes Glied.Wird die Abstands-Kachel grün, kommt immer dieselbe Zahl d dazu. So eine Folge heißt arithmetische Folge: an = a1 + (n − 1) · d
Wird die Faktor-Kachel grün, wird immer mit derselben Zahl q malgenommen. Das ist eine geometrische Folge: an = a1 · qn − 1
Bleiben beide Kacheln rot, steckt ein anderer Bauplan dahinter: Quadratzahlen n², die Fibonacci-Folge (jedes Glied ist die Summe der beiden davor – so eine Regel heißt rekursiv) oder n! = 1 · 2 · 3 · … · n.
Leonardo von Pisa (Fibonacci): Ziffern für Kaufleute belegt
Pisa und Nordafrika, ca. 1170 – nach 1240
Als Junge kam Leonardo mit seinem Vater, einem Kaufmann aus Pisa, in eine Handelsstadt in Nordafrika. Dort lernte er bei arabischen Rechenmeistern die indischen Ziffern 1 bis 9 und die Null kennen – und merkte, wie viel schneller man damit rechnet als mit römischen Zahlen. 1202 schrieb er das „Liber abaci“, ein dickes Rechenbuch für Kaufleute mit Preisen, Gewichten und Geldwechsel. Zwischen Hunderten Aufgaben steht dort auch eine ausgedachte Übung über Kaninchenpaare, die sich jeden Monat vermehren – daraus entsteht die Folge 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Die Pointe: Berühmt ist Leonardo heute für diese kleine Nebenaufgabe. Seine eigentliche Leistung benutzt du aber dauernd: die Ziffern.
Was das mit dir zu tun hat: Jede Zahl, die du hier eintippst, schreibst du mit den Ziffern, für die er geworben hat – und die Folge aus der Detektiv-Station trägt seinen Spitznamen.
Station 2Das Differenzenschema
Bei den Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, … sind die Abstände nicht gleich. Schreib die Abstände darunter – und von denen wieder die Abstände. Wie viele Zeilen brauchst du bei den Kubikzahlen 1, 8, 27, 64, …, bis eine Zeile ganz gleich ist?
Folge–oberste Zeile
Zeilen bis „ganz gleich“–noch nicht gefunden
Vorhersage nächstes Glied–durch Aufaddieren
Von unten nach oben vorhersagen
Die Abstände einer Folge heißen Differenzenfolge. Wird schon die 1. Zeile konstant, ist die Folge arithmetisch. Wird erst die 2. Zeile konstant, steckt ein n² in der Formel (Quadratzahlen, Dreieckszahlen n(n + 1) : 2). Bei den Kubikzahlen n³ wird die 3. Zeile konstant – mit der Zahl 6.Ist eine Zeile konstant, kannst du sie nach rechts verlängern und von unten nach oben aufaddieren: So erhältst du das nächste Glied, ohne die Formel zu kennen. Beispiel: 6³ = 216, also 7³ = 216 + 127 = 343.
Aber Vorsicht: Bei 1, 3, 6, 11, 20, 37 wird keine Zeile konstant. Jede Zeile sieht aus wie 1, 2, 4, 8, … – Verdoppeln reproduziert sich in seinen Differenzen immer wieder (mehr dazu in Station 3).
Station 3Treppe gegen Verdopplung
Die Treppe startet bei 100 und legt jeden Schritt 100 dazu. Die Verdopplung startet bei 1 und verdoppelt sich jeden Schritt. Ab welchem Schritt liegt die Verdopplung vorn?
Deine Schätzung: ab Schritt
Schritt 1
Zuwachs der Treppe–bleibt gleich
Zuwachs der Verdopplung–wächst mit
Wer liegt vorn?–
Gleicher Zuwachs gegen gleichen Faktor
Die Treppe ist arithmetisch: Ihr Zuwachs d bleibt immer gleich. Die Verdopplung ist geometrisch: Ihr Zuwachs ist jedes Mal so groß wie alles, was schon da ist – er wächst mit.Darum gilt: Jede geometrische Folge mit Faktor q > 1 überholt irgendwann jede arithmetische Folge – egal, wie groß deren Vorsprung und Schrittweite sind. Bei Start 100 und + 100 passiert es bei Schritt 12: 211 = 2048 > 1200.
Danach ist die Treppe im Bild kaum noch zu sehen. Diesem rasanten Wachstum begegnest du wieder beim Schachbrett (Reihen) und beim Zinseszins.
Station 4Vorsicht, Detektiv!
Punkte auf einem Kreis werden alle miteinander verbunden. Mit 1, 2, 3, 4, 5 Punkten entstehen 1, 2, 4, 8, 16 Teile. Wie viele Teile gibt es mit 6 Punkten?
Punkte–auf dem Kreis
Sehnen–Verbindungslinien
Kreuzungen–im Inneren
Teile–
Ein Ja ist vorläufig, ein Nein endgültig
Fünf Fälle passten zum Verdoppeln – der sechste nicht. Fünf Bestätigungen machen eine Vermutung glaubwürdiger, aber ein einziges Gegenbeispiel widerlegt sie.Was wirklich zählt, siehst du beim Zeichnen: Jede neue Sehne zerschneidet so viele Teile, wie sie Stücke hat – und sie hat ein Stück mehr, als sie Kreuzungen hat. Darum gilt: Teile = 1 + Sehnen + Kreuzungen
Mit 6 Punkten: 1 + 15 + 15 = 31. Mit 7 Punkten: 1 + 21 + 35 = 57. Probier die Kreis-Folge im Differenzenschema (Station 2) aus: Erst die 4. Zeile wird konstant.
Liegen die 6 Punkte ganz gleichmäßig, laufen drei Sehnen durch die Mitte. Dann fällt ein Teil weg – es sind nur 30.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Folgen fortsetzen
Gliedera1, a2, a3, … · an ist das n-te Glied
Gleicher Abstand (arithmetisch)d = a2 − a1
an = a1 + (n − 1) · d
an = a1 + (n − 1) · d
Gleicher Faktor (geometrisch)q = a2 : a1
an = a1 · qn − 1
an = a1 · qn − 1
PrüfenRechne die Regel an allen gegebenen Gliedern nach – nicht nur an zweien.
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Formeln für Folgen
Arithmetischan = a1 + (n − 1) · d
Rückwärts: n − 1 = (an − a1) : d
Rückwärts: n − 1 = (an − a1) : d
Geometrischan = a1 · qn − 1
Zwei Glieder bekanntZwischen ai und aj liegen (j − i) Schritte d.
DifferenzenschemaAbstände darunter schreiben, bis eine Zeile konstant ist; dann von unten nach oben aufaddieren.
So arbeitest du: Hier musst du Regeln selbst finden, begründen oder entlarven. Probier immer zuerst mit kleinen Zahlen, dann rechne mit Buchstaben.
Werkzeuge für Experten
RekursivJedes Glied aus den vorigen, z. B. an = an−1 + an−2
Dreieckszahlen1, 3, 6, 10, … Tn = n · (n + 1) : 2
Quadratische Folgenan = A·n² + B·n + C
2. Differenzen konstant = 2A
2. Differenzen konstant = 2A
VorsichtEin paar passende Glieder beweisen keine Regel. Ein Gegenbeispiel widerlegt sie.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Was bleibt von Kreuz zu Kreuz gleich – und was wächst?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Jedes Kreuz hat ein Mittelquadrat und vier gleich lange Arme. Bei Kreuz 1 ist jeder Arm 1 Quadrat lang, bei Kreuz 2 sind es 2, bei Kreuz 3 sind es 3. Wie lang sind die Arme bei Kreuz 10?Hilfe 3 – Lösung
Kreuz n: 1 Mitte + 4 Arme mit je n Quadraten = 4n + 1. Die Folge 5, 9, 13, … wächst immer um 4.Kreuz 10: 4 · 10 + 1 = 41, also x = 41.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
Anzahl der Quadrate: x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Musst du wirklich jedes Quadrat zählen? Stell dir eine zweite, gleiche Treppe vor. Wie könntest du die beiden zusammenlegen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Dreh die zweite Treppe auf den Kopf und setz sie oben auf die erste. Es entsteht ein Rechteck. Wie breit und wie hoch ist es?Hilfe 3 – Lösung
Zwei Treppen ergeben ein Rechteck mit 12 · 13 = 156 Quadraten. Eine Treppe ist die Hälfte: x = 78.Das ist die 12. Dreieckszahl: 1 + 2 + … + 12 = 12 · 13 : 2.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? In jedes Kästchen ab dem dritten führen zwei Pfeile. Woher kommen sie? Was könnte das für die Zahl im Kästchen heißen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Jedes Kästchen ist die Summe der beiden davor. Schreib die leeren Kästchen mit 4 und x aus: 4 + x, dann 4 + 2x, dann … Das letzte muss 37 sein.Hilfe 3 – Lösung
4, x, 4 + x, 4 + 2x, 8 + 3x, 12 + 5x.12 + 5x = 37 → 5x = 25 → x = 5.
Probe: 4, 5, 9, 14, 23, 37 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.