So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann rechnest du Schritt für Schritt weiter, schiebst Regler oder lässt die Zeit laufen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Angebot A / wer vorne liegt · Angebot B / wer aufholt · Unterschied · Gleichstand · Kommandostrich | − 200x dunkelgelb
Station 1Jahr für Jahr
Ein Motorrad kostet 7000 € und 300 € Steuer im Jahr. Dasselbe Motorrad mit Katalysator kostet 9000 €, aber nur 200 € Steuer im Jahr. Nach wie vielen Jahren haben beide insgesamt gleich viel gekostet?
Gesamtkosten A–ändern sich
Gesamtkosten B–ändern sich
Unterschied–schrumpft
Aufholen je Schritt–bleibt gleich
Vorsprung : Aufholen
Am Anfang ist B um 2000 € teurer. Jedes Jahr kostet B aber 100 € weniger Steuer – der Unterschied schrumpft also jedes Jahr um dieselben 100 €.2000 € : 100 € pro Jahr = 20 Jahre
Nach 20 Jahren haben beide 13 000 € gekostet. Danach ist B billiger. Dieser Gedanke – Vorsprung geteilt durch Aufholen – steckt in allen Gleichstand-Aufgaben.
Station 2Die Lücke heißt x
Für jedes Jahr hast du dieselbe Rechnung gemacht – nur eine Zahl war jedes Mal anders. Kannst du die Rechnung einmal für alle Jahre aufschreiben? Schieb das Kästchen und beobachte die zwei Zahlenachsen.
Angebot A
Angebot B
☐–ändert sich
Kosten A · Kosten B–ändern sich
Abstand der Punkte unten–schrumpft, wächst
Aus der Lücke wird die Unbekannte
Die Rechnung „7000 + ☐ · 300“ gilt für jedes Jahr – das Kästchen ist eine Leerstelle. Gibst du ihr einen Namen, entsteht ein Term: 7000 + 300x.Gleichstand heißt: Beide Terme haben denselben Wert. Das ist die Gleichung 7000 + 300x = 9000 + 200x
Auf den beiden Zahlenachsen siehst du es so: Von jedem Jahr oben laufen zwei Linien nach unten. Nur bei x = 20 treffen beide denselben Punkt.
Station 3Der Bote wird eingeholt
Uhrzeit–läuft
Abstand–ändert sich
Annäherung pro Stunde–bleibt gleich, sobald beide unterwegs sind
Wieder: Vorsprung : Aufholen
Einholen: Um 10 Uhr hat der Bote 12 km Vorsprung. Der Reiter ist 18 − 6 = 12 km/h schneller: 12 km : 12 km/h = 1 h → um 11 Uhr, 18 km vom Start. Als Gleichung (t = Stunden ab 8 Uhr, gleicher Ort): 6t = 18 · (t − 2)Begegnen: Um 12 Uhr ist Zug A schon 180 km gefahren. Es bleiben 420 km, und die Züge kommen sich mit 90 + 60 = 150 km/h näher: 420 : 150 = 2,8 h = 2 h 48 min → um 14:48 Uhr. Gleichung (beide Teilstrecken ergeben 600 km): 90t + 60 · (t − 2) = 600
Station 4Wann decken sich die Zeiger?
Es ist genau 7 Uhr. Der Minutenzeiger steht oben, der Stundenzeiger hat einen großen Vorsprung. Wann steht der Minutenzeiger zum ersten Mal genau über dem Stundenzeiger?
Minutenzeiger (Striche)–wandert schnell
Stundenzeiger (Striche)–wandert langsam
Vorsprung–schrumpft
Aufholen pro Minute11/12 Strichbleibt gleich
Der Minutenzeiger ist 12-mal so schnell
In einer Minute geht der Minutenzeiger 1 Strich weiter, der Stundenzeiger nur 1/12 Strich. Pro Minute holt der große Zeiger also 11/12 Strich auf.Um 7 Uhr hat der kleine Zeiger 35 Striche Vorsprung. Nach x Minuten steht der große bei x, der kleine bei 35 + x/12: x = 35 + x12 | · 12 → 12x = 420 + x → x = 42011 = 38 211
Die Zeiger decken sich um 7:38 und 2/11 Minuten (etwa 7:38:11). In 12 Stunden passiert das genau 11-mal – alle 12/11 Stunden, also alle 65 5/11 Minuten.
Zusatz: So sieht es im Koordinatensystem aus
Bisher hast du Tabellen, Terme und zwei Zahlenachsen benutzt. Man kann die Kosten aus Station 1 auch als Linien in ein Koordinatensystem zeichnen. Der Gleichstand ist dann ein Schnittpunkt.
Alkuin und der Hund, der den Hasen jagt überliefert
York und Aachen, ca. 735 – 804
Alkuin war ein Gelehrter aus England, den Karl der Große an seinen Hof holte, damit er Schulen aufbaut. Ihm wird eine Sammlung von Denkaufgaben zugeschrieben: „Aufgaben zur Schärfung des Verstandes der Jugend“. Darin jagt ein Hund einen Hasen, der 150 Fuß Vorsprung hat; der Hase springt 7 Fuß weit, der Hund 9 Fuß. Wie viele Sprünge braucht der Hund? Die Antwort steckt in deiner Station 3: Pro Sprung holt der Hund 2 Fuß auf, also braucht er 75 Sprünge. Die Pointe: Aus derselben Sammlung stammt auch das Rätsel vom Wolf, der Ziege und dem Kohlkopf, die über einen Fluss gebracht werden müssen.
Was das mit dir zu tun hat: Seit über 1200 Jahren üben Jugendliche an genau solchen Verfolgungsaufgaben – und der Trick „Vorsprung geteilt durch Aufholen“ ist derselbe geblieben.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Ansatz mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Gleichstand finden
1. TabelleKosten nach 0, 1, 2, … Jahren ausrechnen. Wie ändert sich der Unterschied?
2. Term mit Lücke7000 + ☐ · 300 → 7000 + 300x
x = Anzahl der Jahre (Monate, Minuten …)
x = Anzahl der Jahre (Monate, Minuten …)
3. GleichungGleichstand: Term A = Term B
7000 + 300x = 9000 + 200x | − 200x − 7000
7000 + 300x = 9000 + 200x | − 200x − 7000
AbkürzungZeit = Vorsprung : Aufholen pro Schritt
2000 € : 100 € = 20 Jahre
2000 € : 100 € = 20 Jahre
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Bei Bewegungen hilft fast immer eine Skizze mit Startpunkten, Uhrzeiten und Richtungen.
Bewegung und Begegnung
WegWeg = Geschwindigkeit · Zeit s = v · t
Einholengleicher Ort: v₁ · t = v₂ · (t − Verspätung)
Aufholen pro Stunde = v₂ − v₁
Aufholen pro Stunde = v₂ − v₁
BegegnenTeilstrecken ergeben die ganze Strecke
Annäherung pro Stunde = v₁ + v₂
Annäherung pro Stunde = v₁ + v₂
UhrzeigerMinutenzeiger 1 Strich pro Minute, Stundenzeiger 1/12 Strich pro Minute
So arbeitest du: Hier musst du selbst entscheiden, welche Größe x heißt und welche Größe du auf zwei Wegen ausdrücken kannst. Am Ende: Probe und Grenzfall-Check.
Werkzeuge für Experten
Rundbahngleiche Richtung: Treffen, wenn der Schnellere eine Runde mehr hat
Gegenrichtung: Treffen, wenn beide zusammen eine Runde haben
Gegenrichtung: Treffen, wenn beide zusammen eine Runde haben
Prozent-Rabatt25 % Rabatt → du zahlst 0,75 · x
Hin und zurückZeit hin + Zeit zurück = Gesamtzeit
xv − w + xv + w = T
xv − w + xv + w = T
Grenzfall-ProbeWas liefert dein Ergebnis bei Windstille, bei gleicher Geschwindigkeit, bei 0 %?
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die gestrichelte rote Linie, ohne dass es dasteht? Welche zwei Größen sind deshalb gleich?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Beide Türme sind gleich hoch: 3x + 16 = 5x + 4. Wo stehen mehr x – und wo mehr Zahl?Hilfe 3 – Lösung
Rechts stehen 2 Blöcke x mehr, links 12 mehr (16 − 4). Also gleichen 2x die 12 aus: 2x = 12, x = 6.Probe: 3 · 6 + 16 = 34 und 5 · 6 + 4 = 34.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt die gestrichelte Linie? Und wie hoch ist ein Block rechts im Vergleich zu einem Block links?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Gleich hoch: 4 · x = 6 · (x − 3). Klammer auf, dann ordnen.Hilfe 3 – Lösung
4x = 6x − 18 | − 4x + 1818 = 2x, also x = 9.
Probe: 4 · 9 = 36 und 6 · 6 = 36. Weniger, aber höhere Blöcke links – mehr, aber niedrigere rechts.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was zeigen die gestrichelten Teile – und was die rote Linie? Was ist von jeder Kerze noch übrig?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Rest links: 30 − 3x. Rest rechts: 22 − (x + 2). Die Reste sind gleich hoch. Achtung: Minus vor der Klammer!Hilfe 3 – Lösung
30 − 3x = 22 − (x + 2) = 20 − x | + 3x − 2010 = 2x, also x = 5.
Probe: 30 − 15 = 15 und 22 − 7 = 15.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.