So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Schätze zuerst, dann probier es am Regler aus. Erst danach stellst du die Gleichung auf – und schaust, ob beide Lösungen wirklich passen.
Farben: Flächen (violett) · Eckquadrate x² (dunkler violett) · abgegebene Flächen (rot schraffiert) · Längen orange und blau · Umformungen | : 4
Du brauchst dafür das Zerlegen in zwei Klammern aus dem Kapitel Linearfaktoren und Vieta.
Station 1Der Spiegelrahmen
Ein Spiegel ist 60 cm × 56 cm groß. Er bekommt einen Rahmen, der überall gleich breit ist. Wie breit muss der Rahmen sein, damit er genauso viel Fläche hat wie der Spiegel?
Deine Schätzung: cm
Schritt 0/3
Spiegelfläche–bleibt gleich
Rahmenfläche–ändert sich
Rahmen − Spiegel–ändert sich
Rahmen zerlegen – Gleichung – Klammern
Der Rahmen besteht aus vier Eckquadraten x² und vier Streifen: 4x² + 2 · 60x + 2 · 56x = 60 · 564x² + 232x − 3360 = 0 | : 4 → x² + 58x − 840 = 0
(x − 12)(x + 70) = 0 → x = 12 oder x = −70
Die Gleichung hat zwei Lösungen, die Wirklichkeit nur eine: Ein Rahmen kann nicht −70 cm breit sein. Rechnen, dann prüfen, ob es zur Sache passt.
Station 2Der Radweg
Ein Eckgrundstück ist 100 m × 50 m groß. Für einen Radweg muss der Besitzer an beiden Straßen einen gleich breiten Streifen abgeben – zusammen 725 m². Wie breit ist der Streifen?
ganzes Grundstück–bleibt gleich
abgegebener Streifen–ändert sich
Rest (Länge · Breite)–ändert sich
Auch eine positive Lösung kann unmöglich sein
Der Rest ist ein Rechteck mit den Seiten (100 − x) und (50 − x): (100 − x)(50 − x) = 5000 − 725 = 4275x² − 150x + 725 = 0 → (x − 5)(x − 145) = 0
x = 5 m passt. x = 145 m ist zwar positiv, aber breiter als das ganze Grundstück – dann wären die Seiten des Rests negativ: (−45) · (−95) = 4275.
Mit Vieta siehst du sofort, warum: Die beiden Lösungen haben die Summe 150 = 100 + 50. Ist eine klein, muss die andere riesig sein.
Station 3Summe und Produkt: ein Rechteck gesucht
Länge und Breite eines Rechtecks ergeben zusammen 17 m. Die Fläche ist 60 m². Wie viele Rechtecke passen dazu?
Zieh an der Ecke des Rechtecks. Rechts entsteht die Spur der Fläche.
Länge + Breite–bleibt gleich
Breite x–ändert sich
Fläche–ändert sich
Die beiden Lösungen sind Länge und Breite
Breite x, Länge 17 − x: x · (17 − x) = 60 → x² − 17x + 60 = 0 → (x − 5)(x − 12) = 0Beide Lösungen sind richtig – und sie beschreiben dasselbe Rechteck, einmal hochkant, einmal quer: 5 m × 12 m.
Das ist genau der Satz von Vieta: Die Lösungen haben die Summe 17 und das Produkt 60.
Eine Tontafel aus Babylon belegt
Mesopotamien, ca. 1800 v. Chr.
Auf einer kleinen Tontafel (heute in Yale, Nummer YBC 6967) übt ein Schreiberschüler eine Rechteck-Aufgabe: Zwei Zahlen ergeben multipliziert 60, und die eine ist um 7 größer als die andere. Wie heißen sie? Er rechnet ohne Buchstaben, ohne Gleichheitszeichen und im Sechziger-System – und findet 12 und 5. Sein Rezept: die 7 halbieren, das Ergebnis quadrieren, 60 dazuzählen, die Wurzel ziehen. Die Pointe: Fast 4000 Jahre später ist das genau der Trick, den du im nächsten Kapitel als „Quadrat schließen“ kennenlernst.
Was das mit dir zu tun hat: Prüf es selbst: x · (x + 7) = 60 führt auf x² + 7x − 60 = 0 = (x − 5)(x + 12) – dieselben Zahlen wie auf der Tafel.
Station 4Das Haus: Hier geht es nicht mehr glatt
Ein Grundstück ist 22,5 m × 20,5 m groß. Darauf kommt ein Haus, um das herum ein überall gleich breiter Streifen frei bleibt – zusammen 390 m². Wie breit ist der Streifen?
Schritt 0/2
Grundstück461,25 m²bleibt gleich
Haus–ändert sich
Freifläche–ändert sich
Wenn kein Zahlenpaar mehr passt
Haus: (22,5 − 2x)(20,5 − 2x) = 461,25 − 390 = 71,25 → 4x² − 86x + 390 = 0 | : 4 → x² − 21,5x + 97,5 = 0Gesucht sind zwei Zahlen mit Summe 21,5 und Produkt 97,5. Es sind 6,5 und 15 – aber wer findet die schon durch Probieren? Bei 400 m² heißt die Gleichung x² − 21,5x + 100 = 0, und dann gibt es überhaupt keine Zahlen mit Komma, die genau passen. Der Regler kommt nur nahe heran (x ≈ 6,81).
Vieta und die Zahlenpaare haben hier ihre Grenze erreicht. Ein Verfahren, das immer funktioniert, lernst du im nächsten Kapitel.
Weiter geht's: Wenn nichts mehr glatt aufgeht – das Quadrat schließen →
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft – immer mit Skizze. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Ansatz mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Vom Text zur Gleichung
1. SkizzeUnbekannte Länge x einzeichnen. Alle anderen Längen mit x ausdrücken.
2. GleichungFläche auf zwei Wegen beschreiben, z. B. Rechteck = Länge · Breite.
3. Normalformx² + px + q = 0 (ausmultiplizieren, alles nach links, | : 4)
4. Lösen und prüfenZerlegen: (x − x₁)(x − x₂) = 0. Passt jede Lösung zur Sache?
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Bei jeder Lösung fragst du: Kann das in Wirklichkeit so sein?
Rahmen und Streifen
Rahmen außen herum(a + 2x)(b + 2x) − a · b
= 4x² + 2ax + 2bx
= 4x² + 2ax + 2bx
Rand nach innenInnen bleibt (a − 2x)(b − 2x)
Streifen an zwei SeitenRest (a − x)(b − x)
Probe mit Vietax₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q
So arbeitest du: Hier musst du mehrere Schritte planen. Frag dich zuerst: Was müsste ich kennen, um das Gesuchte direkt auszurechnen?
Werkzeuge für Experten
Zwei StufenErst eine Größe ausrechnen, die dann in die zweite Gleichung kommt.
Pythagorasa² + b² = c² im rechtwinkligen Dreieck
Vieta beim PrüfenSumme der Lösungen = −p: Ist eine Lösung klein, ist die andere groß.
KostenFläche = Gesamtpreis : Preis pro m²
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Wo gehört die 80 hin – zum ganzen Rechteck oder nur zum violetten Rand? Wie lang sind die äußeren Seiten, wenn der Rand überall x breit ist?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Außen: (10 + 2x) und (6 + 2x). Rand = außen − innen: (10 + 2x)(6 + 2x) − 60 = 80.Hilfe 3 – Lösung
60 + 32x + 4x² − 60 = 80, also 4x² + 32x − 80 = 0, durch 4: x² + 8x − 20 = 0.(x + 10)(x − 2) = 0 → x = 2 (−10 ist keine Breite).
Probe: 14 · 10 − 60 = 80 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Zähle: Wie oft liegt die Breite x nebeneinander, wenn du quer durch das ganze Fenster gehst? Und wie oft von oben nach unten?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Quer: 12 + 12 + 3x, hoch: 12 + 2x. Rahmen = ganzes Fenster − zwei Scheiben: (24 + 3x)(12 + 2x) − 288 = 306.Hilfe 3 – Lösung
288 + 48x + 36x + 6x² − 288 = 306, also 6x² + 84x − 306 = 0, durch 6: x² + 14x − 51 = 0.(x + 17)(x − 3) = 0 → x = 3.
Probe: 33 · 18 − 288 = 594 − 288 = 306 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Zerlegen Was liegt zwischen dem großen und dem schrägen Quadrat? Sind diese Stücke alle gleich – und welche Maße haben sie?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die vier Ecken sind gleiche rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten x und 7 − x. Großes Quadrat = schräges Quadrat + 4 Dreiecke: 49 = 25 + 4 · x(7 − x) : 2.Hilfe 3 – Lösung
24 = 2x(7 − x), also 12 = 7x − x², also x² − 7x + 12 = 0.(x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 oder x = 4. Beide passen: Die Seite 7 wird in 3 und 4 geteilt – je nachdem, von welcher Ecke du misst.
(Mit Pythagoras geht es auch: 3² + 4² = 5² = 25.)
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.