So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich kurz fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Zum Schluss jagst du im Fehlerfahnder echte Rechenfallen.
Farben: x-Stäbe (orange) · x²-Platten (violett) · Einer und Guthaben (grün) · Schulden und Abgezogenes (rot, schraffiert)
Station 1Streichhölzer: Ein Term ist ein Bauplan
Aus Streichhölzern wird eine Reihe aus Quadraten gelegt. Für 1 Quadrat brauchst du 4 Hölzer. Wie viele Hölzer brauchst du für 10 Quadrate?
So kannst du zählen:
Quadrate n–ändert sich
Hölzer gezählt–ändert sich
alle drei Terme–immer gleich groß
Falle: (1 + 3)·n–zu viele Hölzer
Punkt vor Strich ist kein Zufall
Der Term 1 + 3·n ist ein Bauplan: ein Holz am Anfang, dann für jedes Quadrat ein Päckchen aus 3 Hölzern. Der Malpunkt hält 3 und n zusammen – darum rechnest du erst 3·n, dann + 1.Wer von links rechnet, bekommt (1 + 3)·n = 4n: Dann hätte jedes Quadrat 4 eigene Hölzer. Das stimmt nicht, weil Nachbarn sich ein Holz teilen.
Die drei Zählweisen 1 + 3n, 4 + 3(n − 1), n + n + (n + 1) sehen verschieden aus und liefern für jedes n dieselbe Zahl. Solche Terme heißen gleichwertig. Prüfen kannst du das durch Einsetzen.
Station 2Drei Sorten, die man nicht mischt
Ein x ist ein Stab, ein x² ist eine Platte, eine Zahl besteht aus kleinen Einer-Quadraten. Kann man x + x² zu einem einzigen Glied zusammenfassen?
Wert vorher–bleibt beim Sortieren gleich
Wert nachher–dasselbe
x + x²–ändert sich mit x
2x³–ändert sich ganz anders
Nur gleiche Sorten zählen zusammen
Gleichartige Glieder haben dieselbe Variable mit derselben Hochzahl. Du zählst nur, wie viele es sind: 3x + 2x = 5x, 2x² + x² = 3x².Ein Stab und eine Platte verschmelzen nie: x + x² bleibt x + x². Für x = 3 ist das 3 + 9 = 12, aber 2x³ = 54.
Ein Minus gehört zum Glied direkt dahinter: −x ist ein Schulden-Stab. Ein Stab und ein Schulden-Stab heben sich auf (Nullpaar).
Vorsicht bei der Probe: Bei x = 1 sehen Stab, Platte und Einer gleich aus. Wer mit x = 1 prüft, merkt die Falle nicht. Nimm lieber x = 2 oder 3.
Station 3Die Klammer gilt für alles: ein Rechteck aus zwei Teilen
Ein Rechteck ist 3 Kästchen hoch und x + 4 Kästchen breit. Seine Fläche ist 3·(x + 4). Ist das dasselbe wie 3x + 4?
a·(x + b)–ganzes Rechteck
a·x + a·b–beide Teile: gleich groß
Falle: a·x + b–zu wenig
Unterschied–Kästchen fehlen
Distributivgesetz: Der Faktor gilt für jedes Glied
a·(x + b) = a·x + a·b und a·(x − b) = a·x − a·bDer Faktor vor der Klammer ist die Höhe des ganzen Rechtecks. Beide Teile sind gleich hoch – also wird jedes Glied in der Klammer mit a multipliziert.
Wer nur das erste Glied multipliziert (3x + 4), behält vom zweiten Teil nur eine einzige Reihe. Es fehlen (a − 1)·b Kästchen – für jedes x.
Mehr Flächenbilder, auch für (a + b)², findest du bei Zahlen als Flächen.
Station 4Minus vor der Klammer: das Schuldenpaket
Auf deinem Konto liegen 50 €. Jetzt wird dir ein Paket abgezogen, das 12 € Guthaben und 8 € Schulden enthält: 50 − (12 − 8). Wie viel hast du danach?
Schritt 0/3
Konto vorher–Guthaben
Wert des Pakets–wird abgezogen
Konto nachher–alles umgedreht
Falle–nur das erste umgedreht
Ein Minus vor der Klammer dreht jedes Vorzeichen um
Ein ganzes Paket abziehen heißt: Jedes Plättchen darin wird umgedreht. Guthaben wegnehmen macht ärmer, Schulden wegnehmen macht reicher.a − (b − c) = a − b + c a − (b + c) = a − b − c
Mit Variablen genauso: 10 − (2x − 5) = 10 − 2x + 5. Das Minus vor der Klammer wirkt wie ein Faktor −1: −3·(x − 4) = −3x + 12, denn −3 · (−4) = +12.
Die Falle: Nur das erste Glied umdrehen. Dann wäre 50 − (12 − 8) = 50 − 12 − 8 = 30 – aber die 8 € Schulden wurden dir ja abgenommen.
Station 5Fehlerfahnder
In jeder Rechnung ist genau eine typische Falle zugeschnappt. In welcher Zeile ist es passiert? Tipp die Zeile an, die du verdächtigst. Die Einsetz-Probe hilft dir dabei.
Beispiel 1 von 5Fallen entdeckt: 0 von 5
Fallen entdeckt0 von 5in dieser Runde
Fehlgriffe0Zeilen, die noch stimmten
Probe x = 2, Zeile 1–muss in jeder richtigen Zeile gleich sein
Die Einsetz-Probe ist ein Fallenfinder
Eine richtige Umformung ändert den Wert eines Terms nicht – für kein x. Setzt du in jede Zeile dieselbe Zahl ein, kommt in allen richtigen Zeilen dasselbe heraus.Ab der Zeile mit dem Fehler ändert sich der Wert. Dort suchst du – nicht erst am Ende.
Nimm für die Probe x = 2 oder x = 3, nicht x = 1: Bei x = 1 ist x = x² = x³, und manche Falle bleibt unsichtbar.
Die Fallen dieser Seite: Punkt vor Strich missachtet · verschiedene Sorten zusammengefasst · Minus-Glied übersehen · Klammer nur aufs erste Glied · Minus vor der Klammer nur aufs erste Glied · Minus mal Minus vergessen.
Thomas Harriot: aa statt a mal a belegt
England, ca. 1560 – 1621
Thomas Harriot fuhr 1585 als Kartenzeichner und Naturforscher mit einem Schiff nach Nordamerika und lernte dort eine Sprache der Algonkin. Zurück in England füllte er Tausende Seiten mit Rechnungen. Er schrieb Unbekannte als kleine Buchstaben und ein Produkt einfach als Nebeneinander: aa für a·a und aaa für a·a·a. So sieht man sofort, dass aa etwas ganz anderes ist als a + a. Die Pointe: Veröffentlicht hat er davon zu Lebzeiten nichts. Sein Algebra-Buch erschien erst 1631, zehn Jahre nach seinem Tod – und darin stehen die Zeichen < und >, die du heute für „kleiner“ und „größer“ benutzt.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du 3x schreibst, benutzt du Harriots Idee: Nebeneinander heißt mal. Darum ist x·x = x², aber x + x = 2x.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Trag dein Ergebnis ein und drück Prüfen – tappst du in eine bekannte Falle, sagt dir die Seite, welche es war. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Terme lesen und vereinfachen
Punkt vor Strich1 + 3·n: erst 3·n, dann + 1.
3x heißt 3·x.
3x heißt 3·x.
Gleiche SortenNur gleichartige Glieder zusammenfassen:
4x + 3 + 2x + 5 = 6x + 8
4x + 3 + 2x + 5 = 6x + 8
Minus-GliedDas Minus gehört zum Glied dahinter:
9x − 4x + 3x = 8x
9x − 4x + 3x = 8x
Klammer ausmultiplizierena·(x + b) = a·x + a·b
3·(x + 4) = 3x + 12
3·(x + 4) = 3x + 12
So arbeitest du: Erst selbst rechnen, eintragen, prüfen. Dann Hilfe 1 → 2 → 3. Mach bei jeder Aufgabe die Einsetz-Probe mit x = 2: Aufgabe und Ergebnis müssen dasselbe liefern.
Klammern auflösen
Minus vor der Klammerdreht jedes Vorzeichen um:
a − (b − c) = a − b + c
a − (b − c) = a − b + c
Negativer Faktor−3·(x − 4) = −3x + 12
Minus mal Minus gibt Plus.
Minus mal Minus gibt Plus.
Zwei KlammernErst jede Klammer auflösen, dann gleiche Sorten sammeln.
Einsetz-ProbeAufgabe und Ergebnis mit x = 2 ausrechnen – gleicher Wert?
So arbeitest du: Hier musst du Terme selbst aufstellen, Fehler aufspüren oder begründen. Schreib jeden Schritt in eine eigene Zeile und prüfe ihn mit einer Zahl.
Werkzeuge für Experten
Von innen nach außena − [b − (c − d)]: erst die runde, dann die eckige Klammer.
Produkte von Gliedernx · x = x², 2x · 3x = 6x², x · 5 = 5x
Gleichwertige Termeliefern für jede Zahl denselben Wert: 1 + 3n und 4 + 3(n − 1).
Gute Probe-Zahlenx = 2 oder x = 3. Bei x = 1 oder x = 0 bleiben manche Fallen unsichtbar.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Die Zahlen in den Rechtecken sind Flächen in Kästchen. Was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Was haben die beiden Rechtecke gemeinsam?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Beide Rechtecke sind gleich hoch. Aus dem linken Rechteck bekommst du die Höhe: 24 : 4.Hilfe 3 – Lösung
Höhe = 24 : 4 = 6. Rechts: 6 · x = 18, also x = 3.Zusammen ist das ein Rechteck 6 · (4 + x) = 24 + 18 = 42 – das Distributivgesetz als Bild.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die beiden kleinen Striche am linken Teil? Welche Strecke kennst du dadurch, obwohl kein x dransteht?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Striche heißen: Der linke Teil ist ein Quadrat, also ist er auch x hoch. Das rechte Rechteck ist genauso hoch: 4 · x = 28.Hilfe 3 – Lösung
Höhe = x, also 4 · x = 28 und x = 7.Die ganze Figur hat dann die Fläche x · (x + 4) = x² + 4x = 49 + 28 = 77.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Welche Teile liegen nebeneinander und sind deshalb gleich hoch? Welche liegen übereinander und sind gleich breit?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Oben sind beide Teile gleich hoch. Das rechte ist 18 : 12 = 1,5-mal so breit wie das linke. Unten gilt dasselbe Breiten-Verhältnis.Hilfe 3 – Lösung
Rechts ist alles 1,5-mal so breit wie links. Also x = 30 · 1,5 = 45.Anders: Über Kreuz sind die Produkte gleich, 12 · x = 18 · 30 = 540, also x = 45.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.