So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann probierst du es aus: Würfel wiegen, Körper ins Wasser legen, eintauchen, aufschneiden. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Volumen V · Masse m · Dichte ρ (sprich „rho“) · Kante a, Radius r · Höhe h, Tiefe
Station 1Gleich groß, verschieden schwer
Ein Würfel mit 10 cm Kante – so groß wie eine Literpackung Milch. Wie schwer ist er, wenn er aus Gold ist?
Stoff–auf der Waage
Volumen V = a³–
Masse m–ändert sich
m : V – so viel wiegt 1 cm³–
Dichte = Masse pro Volumen
Machst du den Würfel kleiner, werden Volumen und Masse kleiner – aber ein Kubikzentimeter wiegt immer gleich viel. Diese Zahl gehört zum Stoff, nicht zum Körper. Sie heißt Dichte ρ:ρ = m : V m = ρ · V V = m : ρ
Gold hat ρ = 19,3 g/cm³: 1 cm³ Gold wiegt 19,3 g. Ein Würfel mit 10 cm Kante hat 1000 cm³ = 1 dm³ und wiegt 19.300 g = 19,3 kg – so viel wie ein voller Getränkekasten.
Drei Einheiten, eine Zahl: 1 g/cm³ = 1 kg/dm³ = 1 t/m³ – denn 1 dm³ hat 1000 cm³ und 1 kg hat 1000 g. (In der Physik oft auch: 1 g/cm³ = 1000 kg/m³.)
Station 2Schwimmt es?
Vom Eisberg sieht man nur die Spitze. Wie viel von ihm liegt unter Wasser?
Dichte des Körpers–
Dichte der Flüssigkeit–
Verhältnis ρKörper : ρFlüssigkeit–vorhergesagt
Ergebnis?erst hineinlegen
Leichter als die Flüssigkeit – dann schwimmt es
Ein Körper schwimmt, wenn seine Dichte kleiner ist als die der Flüssigkeit. Er sinkt so weit ein, bis das Wasser, das er zur Seite drängt, genauso schwer ist wie er selbst. Darum gilt:Anteil unter der Oberfläche = ρKörper : ρFlüssigkeit
Eis im Süßwasser: 0,92 : 1,0 = 92 %. Im Meerwasser (ρ ≈ 1,03 g/cm³) sind es 0,92 : 1,03 ≈ 89 % – fast neun Zehntel. Und Eisen schwimmt tatsächlich – auf Quecksilber: 7,9 : 13,5 ≈ 59 %.
Station 3Volumen durch Eintauchen
Eine alte Erzählung: König Hieron von Syrakus bekommt eine goldene Krone. Er fürchtet, der Goldschmied habe Silber hineingemischt – und Archimedes soll das herausfinden, ohne die Krone zu beschädigen. Zwei Kronen wiegen genau gleich viel. Welche verdrängt mehr Wasser – die aus reinem Gold oder die gemischte?
Masse m (vorher gewogen)–bleibt gleich
übergelaufenes Wasser–= eingetauchtes Volumen
Dichte ρ = m : V–erst ganz eintauchen
Vergleich mit der Tabelle–
Das Wasser misst das Volumen
Das Gefäß ist bis zum Ausguss gefüllt. Was du eintauchst, drängt genau so viel Wasser hinaus, wie es selbst Platz braucht. So misst du das Volumen jeder Form – auch von Steinen und Kronen, für die es keine Formel gibt:1 mL = 1 cm³ ρ = m : Vübergelaufen
Bei gleicher Masse braucht der Stoff mit der kleineren Dichte mehr Platz. Silber (10,5 g/cm³) ist weniger dicht als Gold (19,3 g/cm³) – die gemischte Krone verdrängt also mehr Wasser.
al-Biruni wiegt Steine und Wasser belegt
Abu Raihan al-Biruni, 973 bis ca. 1050, Choresmien (heute Usbekistan) und Ghazni (heute Afghanistan)
Al-Biruni schrieb über Sterne, Kalender, Länder und Edelsteine. Um herauszufinden, woraus ein Stück besteht, verglich er zwei Zahlen: wie schwer es ist und wie viel Wasser es aus einem randvollen Gefäß mit Ausguss verdrängt – genau wie in dieser Station. So entstand um das Jahr 1000 eine Tabelle für Metalle und Edelsteine. Seine Werte liegen erstaunlich nah an den heutigen: Bei Gold weicht er nur um etwa ein Prozent ab – ganz ohne elektronische Waage. Ein späterer Gelehrter, al-Chazini, hat das Gefäß und die Tabelle im 12. Jahrhundert beschrieben.
Was das mit dir zu tun hat: Mit einer Küchenwaage und einem Messbecher kannst du zu Hause dasselbe messen – probier es mit einem Stein oder einem Schlüsselbund.
Station 4Die hohle Stahlkugel
Stahl ist fast achtmal so dicht wie Wasser. Eine Kugel aus Stahl hat 10 cm Radius, ist aber innen hohl – die Wand ist nur 4 mm dick. Schwimmt sie?
Vaußen = 4/3 · π · R³–ganze Kugel
Vinnen = 4/3 · π · r³–Hohlraum, r = R − d
VStahl = Vaußen − Vinnen–nur die Schale
Masse m = 7,9 g/cm³ · VStahl–Stahl
mittlere Dichte m : Vaußen–
Hohlkörper: außen minus innen
Die Masse steckt nur in der Schale: m = ρ · (4/3 · π · R³ − 4/3 · π · r³) mit r = R − dOb die Kugel schwimmt, entscheidet aber ihre mittlere Dichte: die Masse verteilt auf das ganze Volumen, Luft mitgezählt. Bei R = 10 cm und d = 4 mm wiegt die Kugel etwa 3,8 kg, verdrängt aber ganz eingetaucht 4,2 kg Wasser – sie schwimmt. Ab etwa 4,5 mm Wandstärke geht sie unter. So schwimmen auch Schiffe aus Stahl: Sie sind zum größten Teil mit Luft gefüllt.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Masse, Volumen, Dichte
Dichteρ = m : V
m = ρ · V V = m : ρ
m = ρ · V V = m : ρ
Einheiten1 g/cm³ = 1 kg/dm³ = 1 t/m³
1 mL = 1 cm³ 1 L = 1 dm³
1 mL = 1 cm³ 1 L = 1 dm³
SchwimmenρKörper < ρWasser = 1 g/cm³ → schwimmt
Anteil unter Wasser = ρKörper : ρWasser
Anteil unter Wasser = ρKörper : ρWasser
Quader und ZylinderV = a · b · c V = π · r² · h
Dichte-Tabelle (in g/cm³ = kg/dm³ = t/m³)
Kork0,25Fichtenholz0,5Eis0,92Wasser1,0Meerwasser1,03Beton2,4Glas2,5Granit2,7Aluminium2,7Eisen, Stahl7,9Messing8,5Kupfer8,9Silber10,5Blei11,3Quecksilber13,5Gold19,3
So arbeitest du: Erst selbst probieren, dann Hilfe 1 → 2 → 3. Achte auf die Einheiten: Wenn die Dichte in g/cm³ steht, rechnest du alle Längen in cm. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Volumen aller Körper – dann mal ρ
SäulenV = G · h
Zylinder: V = π · r² · h
Zylinder: V = π · r² · h
SpitzkörperV = ⅓ · G · h
Kegel: V = ⅓ · π · r² · h
Kegel: V = ⅓ · π · r² · h
KugelV = 4/3 · π · r³
Rohr, HohlkörperV = Vaußen − Vinnen
Rohr: V = π · (R² − r²) · L
Rohr: V = π · (R² − r²) · L
Dichte-Tabelle (in g/cm³ = kg/dm³ = t/m³)
Kork0,25Fichtenholz0,5Eis0,92Wasser1,0Meerwasser1,03Beton2,4Glas2,5Granit2,7Aluminium2,7Eisen, Stahl7,9Messing8,5Kupfer8,9Silber10,5Blei11,3Quecksilber13,5Gold19,3
So arbeitest du: Hier musst du Körper zusammensetzen, rückwärts rechnen oder eine Gleichung aufstellen. Mach zuerst eine Skizze und schreib dazu, welche Teile aus welchem Stoff sind.
Werkzeuge für Experten
Mittlere Dichteρmittel = mgesamt : Vgesamt
< 1 g/cm³ → schwimmt im Wasser
< 1 g/cm³ → schwimmt im Wasser
Gemisch aus zwei Stoffenm = m₁ + m₂
V = m₁ : ρ₁ + m₂ : ρ₂
V = m₁ : ρ₁ + m₂ : ρ₂
Dünne SchichtV ≈ Oberfläche · Dicke
Kugel: O = 4 · π · r²
Kugel: O = 4 · π · r²
Umschmelzengleiche Masse, gleicher Stoff → gleiches Volumen
k-facher Radius → k³-faches Volumen
k-facher Radius → k³-faches Volumen
Dichte-Tabelle (in g/cm³ = kg/dm³ = t/m³)
Kork0,25Fichtenholz0,5Eis0,92Wasser1,0Meerwasser1,03Beton2,4Glas2,5Granit2,7Aluminium2,7Eisen, Stahl7,9Messing8,5Kupfer8,9Silber10,5Blei11,3Quecksilber13,5Gold19,3
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Wie steht die Waage – und warum haben alle Würfel dieselbe Farbe?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Waage ist im Gleichgewicht: links und rechts gleich schwer. Gleicher Stoff heißt dann auch gleiches Volumen. Wie viele kleine Würfel mit Kante 1 passen in den großen mit Kante 2?Hilfe 3 – Lösung
Der große Würfel hat 2 · 2 · 2 = 8 Kubik-Einheiten, der kleine 1. Also x = 8.Doppelt so lang, breit und hoch heißt nicht doppelt, sondern achtmal so schwer.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die Waage steht gerade, alle Körper haben dieselbe Farbe. Was ist dann links und rechts gleich – obwohl die Körper ganz verschieden aussehen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Links und rechts steckt gleich viel Volumen. Ein Kegel hat ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Wie viele kleine Kegel braucht der Zylinder links, der dreimal so hoch ist?Hilfe 3 – Lösung
Zylinder: π · 2² · 6 = 24π. Kegel: ⅓ · π · 2² · 2 = 8π/3.x = 24π : 8π/3 = 24 · 3 : 8 = 9.
Ohne Rechnen: Ein Zylinder mit Höhe 2 wiegt 3 Kegel auf, der linke ist 3-mal so hoch – also 3 · 3 = 9.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die Waage steht im Gleichgewicht, beide Körper sind aus demselben Stoff. Was haben Kugel und Kegel dann gemeinsam? Welche Maße teilen sie sich?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Kugel und Kegel haben gleiches Volumen und denselben Radius 3. Schreib beide Volumen mit π auf und setze sie gleich: 4/3 · π · r³ = ⅓ · π · r² · x.Hilfe 3 – Lösung
Kugel: 4/3 · π · 27 = 36π. Kegel: ⅓ · π · 9 · x = 3π · x.3π · x = 36π, also x = 12.
Allgemein: Ein Kegel mit gleichem Radius muss 4 · r hoch sein, um die Kugel aufzuwiegen.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.