So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Frage. Überlege kurz, was du vermutest. Dann probierst du es aus: ziehen, schieben, abspielen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt.
Farben: Abstand zum Brennpunkt rot · Abstand zur Leitlinie bzw. zum zweiten Brennpunkt grün-blau · Falten und Fäden orange · Kurve navy · Asymptoten grün
Station 1Falten an der Leitlinie
Die untere Papierkante ist eine Gerade, darüber liegt ein Punkt F. Du faltest die Kante so, dass ein Kantenpunkt K genau auf F fällt – immer wieder, mit vielen Punkten K. Was für eine Kurve zeigen die Falten?
Zieh K an der Kante entlang und F nach oben oder unten.
Strecke PF–ändert sich
Strecke PK (senkrecht zur Kante)–immer gleich PF
PF − PK0 cmbleibt 0
Falten0gezeichnet
Die Falten hüllen eine Parabel ein
Die Falte ist die Mittelsenkrechte von FK. Das Lot in K auf die Kante trifft sie im Punkt P. Weil P auf der Mittelsenkrechten liegt, gilt PF = PK – und PK ist der Abstand von P zur Kante.Alle Punkte, die vom Punkt F und von der Geraden gleich weit entfernt sind, bilden eine Parabel. F heißt Brennpunkt, die Gerade Leitlinie. Jede Falte berührt die Parabel in genau einem Punkt P – sie ist eine Tangente.
Vergleich mit der Ellipse: Dort war es ein Leitkreis, hier ist es eine Leitgerade. Du kennst die Parabel auch als Graph von y = x² – im Kapitel „Parabel und Gleichung“ hast du schon gesehen, dass dort F bei (0 | 0,25) liegt.
Station 2Fadenbild: krumm aus lauter Geraden
Auf zwei Schenkeln sitzen gleich viele Nägel. Ein Faden geht vom 1. Nagel links zum 1. Nagel rechts, vom 2. zum 2. und so weiter – jeder Faden ist schnurgerade. Kann daraus eine runde Kurve werden?
Fäden–alle gerade
Winkel–einstellbar
Berührpunkt auf Faden Nr. kteilt ihn im Verhältnis k : (n − k)wie die Nägel
Eine Hüllkurve aus Strecken
Jeder Faden berührt die entstehende Kurve in genau einem Punkt – sie ist eine Hüllkurve, genau wie die Falten in Station 1. Und es ist wirklich eine Parabel, bei jedem Winkel zwischen den Schenkeln (dann liegt sie nur schräg im Bild).Schöne Regel: Der k-te Faden wird von seinem Berührpunkt im selben Verhältnis k : (n − k) geteilt, in dem seine Nägel die Schenkel teilen. Mit dieser Regel zeichnen heute Computer glatte Kurven (Bézier-Kurven in jedem Grafikprogramm und in jeder Schrift).
Station 3Die Hyperbel: feste Differenz
Bei der Ellipse war die Summe der Abstände zu F₁ und F₂ fest. Jetzt soll die Differenz fest sein: Der Punkt ist von F₁ immer genau d weiter weg als von F₂. Wie sieht diese Kurve aus?
Die Kreise um F₁ und F₂ haben die Radien 1, 2, 3, … (in cm). Die Brennpunkte liegen 10 cm auseinander.
r₁ (Kreis um F₁)–ändert sich
r₂ (Kreis um F₂)–ändert sich
r₁ − r₂–bleibt gleich
Hyperbel: Die Differenz ist fest
Alle Punkte P mit | r₁ − r₂ | = 2a bilden eine Hyperbel mit den Brennpunkten F₁, F₂. Sie hat zwei Äste: einen, auf dem r₁ größer ist, und einen gespiegelten. Die Scheitel liegen auf der Achse, im Abstand a von der Mitte.Weit draußen werden die Äste fast gerade. Sie nähern sich zwei Geraden durch die Mitte, den Asymptoten, ohne sie je zu erreichen. Mit c = halber Brennpunktabstand und b² = c² − a² haben sie die Steigungen ± b : a.
Die Differenz muss kleiner als der Abstand der Brennpunkte sein (Dreiecksungleichung). Je kleiner die Differenz, desto weiter öffnen sich die Äste; bei d = 0 bleibt nur die Mittelsenkrechte von F₁F₂.
Station 4Schachbrett aus Kreisen
Zwei Scharen von Ringen, abwechselnd hell und dunkel gefärbt, ergeben ein krummes Schachbrett. Welche Kurven entstehen, wenn du den „Diagonalen“ der Felder folgst?
Muster–gewählt
Auf jeder Diagonale–bleibt gleich
Kurven–entstehen
Ein Muster – drei Kurvenarten
Die Ecken eines Feldes liegen auf Kreisen mit ganzzahligen Radien r₁ und r₂. Gehst du diagonal weiter, wird ein Radius um 1 größer und der andere um 1 kleiner (dann bleibt die Summe) – oder beide werden um 1 größer (dann bleibt die Differenz).Kreise + Kreise: Summe fest → Ellipsen, Differenz fest → Hyperbeln. Kreise + Geraden (Abstand zu einer Leitlinie): Abstand zu F und zur Geraden gleich → Parabeln.
Alle Ellipsen und Hyperbeln eines Bildes haben dieselben Brennpunkte, alle Parabeln denselben Brennpunkt. Und sie kreuzen sich überall im rechten Winkel.
Diokles und die Brennspiegel belegt
Diokles · ca. 240 – 180 v. Chr. · Griechenland
Diokles schrieb ein Buch „Über Brennspiegel“. Darin steht der älteste bekannte Beweis, dass ein Hohlspiegel in Parabelform alle parallel einfallenden Sonnenstrahlen in einem einzigen Punkt sammelt – im Brennpunkt, wo es so heiß wird, dass Holz zu brennen beginnt. Für den Beweis benutzte er genau die Regel aus Station 1: gleich weit von Brennpunkt und Leitlinie. Das griechische Original ist verloren. Die Pointe: Erhalten blieb nur eine arabische Übersetzung, und die wurde erst 1976 vollständig herausgegeben – rund 2150 Jahre nach Diokles. (Dass Archimedes mit Brennspiegeln römische Schiffe angezündet habe, ist dagegen eine Legende.)
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du in Station 1 die Falten abspielst, zeichnest du die Kurve, die Diokles für seine Spiegel brauchte. Jede Satellitenschüssel nutzt sie bis heute.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen.
Parabel und Hyperbel als Ortslinien
ParabelAbstand zu F = Abstand zur Leitlinie
Scheitel genau in der Mitte zwischen F und Leitlinie
Scheitel genau in der Mitte zwischen F und Leitlinie
Parabel in KoordinatenScheitel (0 | 0), F(0 | f), Leitlinie y = −f:
x² = 4 · f · y
x² = 4 · f · y
Hyperbel| r₁ − r₂ | = 2a
Scheitel: a von der Mitte, c − a vom nahen Brennpunkt
Scheitel: a von der Mitte, c − a vom nahen Brennpunkt
Funk und SchallFunk: 300 km pro Millisekunde
Schall: rund 1 km in 3 Sekunden
Schall: rund 1 km in 3 Sekunden
So arbeitest du: Hier musst du selbst eine Gleichung aufstellen oder eine Behauptung prüfen. Mach immer zuerst eine Skizze und trag alle Abstände ein.
Werkzeuge für Experten
Hyperbel-Gleichungx²a² − y²b² = 1 · b² = c² − a²
Asymptoten: y = ± ba · x
Asymptoten: y = ± ba · x
Parabel mit Scheitel S(d | e)y = k · (x − d)² + e
f = 1 : (4k) · F(d | e + f) · Leitlinie y = e − f
f = 1 : (4k) · F(d | e + f) · Leitlinie y = e − f
Punkt senkrecht über einem Brennpunkt(h + 2a)² = h² + (2c)² → h² fällt weg
Abstand zweier Punkte√((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die senkrechte Linie links ist die Leitlinie. Wie weit ist der rote Punkt von ihr entfernt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Jeder Punkt der Parabel ist von F und von der Leitlinie gleich weit weg. Der rote Punkt liegt genau über F – also genauso weit rechts der Leitlinie wie F.Hilfe 3 – Lösung
Abstand des Punktes zur Leitlinie: 6. Also ist auch sein Abstand zu F gleich 6: x = 6.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die 6 steht zwischen den beiden Scheiteln. Was gilt für die zwei Fäden, wenn der Punkt genau im rechten Scheitel sitzt?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Im rechten Scheitel ist der Faden zu F₁ genau um die Strecke zwischen den Scheiteln länger als der Faden zu F₂. Diese Differenz bleibt für jeden Punkt des rechten Astes gleich.Hilfe 3 – Lösung
x − 5 = 6, also x = 11.Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir die Figur, ohne dass es dasteht? Die 10 ist der Abstand des Punktes zu F. Welchen anderen Abstand des Punktes kennst du damit auch – und wo liegt der Punkt dann waagrecht?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Der Punkt ist auch 10 von der Leitlinie entfernt, F nur 4. Waagrecht liegt der Punkt also 6 rechts von F. Jetzt steckt x in einem rechtwinkligen Dreieck mit der langen Seite 10.Hilfe 3 – Lösung
Waagrecht: 10 − 4 = 6. x² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64, also x = 8 (Tripel 6-8-10).Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.