Spitze Körper: Volumen, Seitenhöhe, Mantel und Oberfläche. Erst ausprobieren, dann verstehen, dann rechnen.
Sechs Entdeckungen, eine nach der anderen: von der Fläche zum Körper bis zum Kegel im Zylinder. Nach jeder fragt die Seite, ob du es verstanden hast. Die mit ●●● sind anspruchsvoll – du darfst sie auch später machen.
Eine Fläche ist flach. Was passiert, wenn du sie in die Höhe ziehst – gerade nach oben oder zu einer Spitze?
Alle drei Grundflächen sind gleich groß: G = 16 cm². Eine Fläche hat zwei Richtungen – Länge und Breite. Ein Körper hat eine dritte: die Höhe.
Oben rechts im Bild: die Grundfläche von oben (2D). Daneben der Körper (3D).
Was passiert mit dem Netz, wenn der Körper höher oder breiter wird?
Viermal so groß. Die Grundfläche a² wächst mit dem Quadrat: 8² = 64 ist viermal 4² = 16. Die Höhe bleibt gleich.
Bei etwa h = 5,2 cm. Dann ist die Mantellinie s = 6 cm, also doppelt so lang wie r. Der Halbkreis mit Radius 6 cm hat einen Bogen von π · 6 cm – genau der Umfang des Bodens mit r = 3 cm.
Zwei Stapel aus je 20 gleichen Münzen. Den rechten schiebst du schief oder biegst ihn. Welcher Stapel hat mehr Volumen?
Jede Münze ist ein flacher Zylinder: Durchmesser 2,5 cm, Dicke 2,2 mm. Beim Verschieben wird keine Münze größer oder kleiner.
Diese Idee heißt Prinzip von Cavalieri. Du brauchst sie gleich bei der schiefen Pyramide.
Die Pyramide besteht aus 15 dünnen Scheiben – wie ein Kartenstapel. Schieb sie schief. Ändert sich das Volumen?
Beim Schieben wird jede Scheibe nur seitlich verschoben, nicht gedehnt.
„Von vorn“ zeigt dieselbe Ansicht wie die Zeichnung im Heft. Gestrichelt: die gerade Ausgangspyramide.
Warum genau ein Drittel? Ein Würfel lässt sich in drei gleiche Pyramiden zerlegen. Alle drei haben ihre Spitze in derselben Würfelecke.
Mit Maus oder Finger drehen.
Eine Pyramide füllt ein Drittel des Prismas mit gleichem Boden und gleicher Höhe. Was passiert, wenn der Boden immer mehr Ecken bekommt?
Grundfläche: regelmäßiges Vieleck in einem Kreis mit r = 3 cm, Höhe h = 6 cm.
Bei jeder Eckenzahl ist die Pyramide ein Drittel des Prismas. Mit unendlich vielen Ecken wird aus dem Prisma ein Zylinder und aus der Pyramide ein Kegel – das Drittel bleibt.
Das wolltest du später noch klären. Zeig den Zettel deiner Lehrkraft, deinen Eltern oder in der Nachhilfe.
Nimm einen spitzen Kegel und einen Zylinder mit demselben Boden und derselben Höhe. Füll den Kegel mit Wasser und gieß ihn in den Zylinder. Nach drei Füllungen ist der Zylinder voll.
In den Kegel passt also ein Drittel vom Zylinder. Bei der Pyramide und dem Prisma ist es genauso.
So rechnest du:
Probier es unten selbst aus.
Ein spitzer Körper hat ein Drittel des Volumens eines Prismas (oder Zylinders) mit gleicher Grundfläche G und gleicher Höhe h:
Die Höhe h steht immer senkrecht auf der Grundfläche. Sie ist nicht die schräge Kante.
Warum genau ein Drittel? Ein Würfel mit der Kante a lässt sich in drei gleiche Pyramiden zerlegen, die eine Ecke des Würfels als gemeinsame Spitze haben. Jede hat die Grundfläche a² und die Höhe a. Also gilt V = a³ : 3 = ⅓ · a² · a.
Prinzip von Cavalieri: Haben zwei Körper in jeder Höhe gleich große Querschnitte, dann haben sie dasselbe Volumen. Verschiebst du die Spitze einer Pyramide (Scherung), ändern sich die Querschnitte nicht – das Volumen bleibt gleich. Streckst du die Pyramide in der Höhe, wächst das Volumen im gleichen Verhältnis. So gilt ⅓ · G · h für jede Pyramide.
Kegel: Er ist der Grenzfall einer Pyramide mit sehr vielen Ecken. Darum gilt auch hier V = ⅓ · G · h.
Für die Oberstufe: In der Höhe z hat der Querschnitt die Fläche G · (1 − z/h)². Integriert von 0 bis h ergibt das genau ⅓ · G · h.
Kegel und Zylinder haben denselben Boden und dieselbe Höhe. Du füllst den Kegel mit Wasser und gießt ihn in den Zylinder um.
Dein Tipp zuerst: Wie oft musst du umgießen, bis der Zylinder voll ist?
Zylinder: leer.
Ein Würfel lässt sich in drei gleiche Pyramiden zerlegen. Alle drei haben die Spitze in derselben Ecke. Jede hat als Boden eine Würfelfläche (Grundfläche G = a²) und die Höhe h = a.
Ziehen mit Maus oder Finger dreht das Bild.
Kegel mit r = 3 cm und h = 8 cm:
Video: Lehrer Schmidt – Volumen der Pyramide · Volumen des Kegels (YouTube-Suche)
Schneide eine Pyramide genau durch die Mitte, von der Spitze senkrecht nach unten. Die Schnittfläche ist ein Dreieck. Seine rechte Hälfte ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Seine Seiten sind die Höhe h (grün), die halbe Kante a/2 (orange) und die Seitenhöhe hs (blau). Die Seitenhöhe ist die schräge Linie mitten auf einer Seitenfläche.
Beim Kegel ist es genauso: Höhe h, Radius r und die Mantellinie s (rot).
Die schräge Seite ist immer die längste. Erst quadrieren, dann addieren, dann die Wurzel ziehen.
Die Höhe h steht senkrecht auf der Grundfläche. Mit ihr entstehen im Inneren rechtwinklige Dreiecke. Die schräge Seite ist die Hypotenuse.
In der quadratischen Pyramide gibt es drei wichtige rechtwinklige Dreiecke:
Beide Wege zu k müssen dasselbe ergeben: h² + a²/4 + a²/4 = h² + a²/2. Stimmt.
Beim Kegel sind alle Mantellinien gleich lang. Darum ist der aufgeschnittene Mantel ein Kreisausschnitt mit dem Radius s.
Schneide den Kegel durch die Spitze und die Mitte. Aus der Schnittfläche löst sich ein rechtwinkliges Dreieck mit h, r und s. Darüber siehst du den Satz des Pythagoras mit Quadraten.
Kegel mit r = 6 cm und h = 8 cm:
Video: Lehrer Schmidt – Seitenhöhe mit Pythagoras (YouTube-Suche)
Was für eine Form hat das Etikett einer Dose, wenn du es abziehst und flach hinlegst?
Ziehen mit Maus oder Finger dreht das Bild.
Schneide das Etikett senkrecht auf und roll es ab. Es wird ein Rechteck.
Die eine Seite ist so lang wie die Dose hoch ist: h.
Die andere Seite lag einmal ganz um den Boden herum. Sie ist so lang wie der Umfang des Kreises: 2 · π · r.
Dazu kommen Boden und Deckel, zwei gleiche Kreise:
Achtung: π · r · h ist nur der halbe Mantel. Und π · r² · h ist das Volumen (Einheit cm³), nicht der Mantel (cm²).
Warum 2 · π · r? π ist genau so festgelegt: Bei jedem Kreis passt der Durchmesser etwa 3,14-mal um den Rand. Also u = π · d = 2 · π · r.
Beim Abrollen wird das Papier nur gebogen, nicht gedehnt. Keine Länge ändert sich – darum bleibt auch die Fläche gleich: M = 2 · π · r · h.
Vom Prisma her: Ein Prisma mit n Ecken hat als Mantel n Rechtecke, zusammen Umfang der Grundfläche · h. Bei sehr vielen Ecken wird daraus der Zylinder.
Vergleich mit dem Kegel: Auch sein Mantel hat unten den Bogen 2 · π · r. Aber die Stücke laufen spitz zu und sind s lang – darum nur die Hälfte: M = ½ · 2 · π · r · s = π · r · s.
Bei h ≈ 6,3 cm. Dann ist die Höhe genauso lang wie der Umfang 2 · π · 1 cm ≈ 6,28 cm.
Der Umfang verdoppelt sich, also auch der Mantel. Boden und Deckel werden aber viermal so groß, weil r dort im Quadrat steht.
Dose mit r = 4 cm und h = 11 cm:
Video: Lehrer Schmidt – Mantel und Oberfläche des Zylinders (YouTube-Suche)
Die Oberfläche ist alles, was du anmalen könntest: der Boden und der Mantel.
Pyramide: Der Mantel besteht aus 4 gleichen Dreiecken. Jedes hat die Grundseite a und die Höhe hs. Ein Dreieck: a · hs : 2.
Kegel: Wie beim Zylinder schneidest du den Mantel auf und rollst ihn ab. Diesmal bekommst du kein Rechteck, sondern ein Tortenstück aus einem großen Kreis mit dem Radius s. Zerschneide es in schmale Stücke und leg sie abwechselnd nebeneinander. Es entsteht fast ein Rechteck: unten so lang wie der halbe Bodenumfang π · r, und so hoch wie s.
Achtung: Für den Mantel brauchst du die schräge Länge (hs oder s), nicht die Höhe h. Ist nur h gegeben, rechnest du zuerst mit Pythagoras.
Der abgewickelte Kegelmantel ist ein Kreisausschnitt mit dem Radius s. Sein Bogen ist so lang wie der Umfang des Bodens: b = 2 · π · r. Der ganze Kreis mit Radius s hätte den Umfang 2 · π · s. Der Ausschnitt ist also der Anteil r/s vom ganzen Kreis:
Der Mittelpunktswinkel ist α = 360° · r/s. Für den Papierkegel aus „Mit den Händen“: r = 10 cm · 216°/360° = 6 cm, und h = √(10² − 6²) = 8 cm.
Die Pyramide folgt demselben Gedanken: Mantel = halber Umfang der Grundfläche · schräge Höhe. Pyramide: ½ · 4a · hs. Kegel: ½ · 2πr · s.
Der abgerollte Kegelmantel ist ein Kreisausschnitt: Radius s, Bogen 2 · π · r. Schneide ihn in schmale Kuchenstücke und lege sie abwechselnd gegeneinander: eine Spitze nach oben, die nächste nach unten.
Mehr Stücke: Die Ränder oben und unten werden gerader, das Rechteck genauer. Der Flächeninhalt ändert sich beim Legen nicht.
Pyramide mit a = 6 cm und h = 4 cm:
Video: Lehrer Schmidt – Oberfläche der Pyramide · Oberfläche des Kegels (YouTube-Suche)
Drei Animationen in einem Fenster (Tabs 1 bis 3): Wie wird aus der Pyramide ein Kegel? Wie klappt der Mantel auf, bis du das ganze Netz siehst? Wie werden aus Dreiecken ein Kreisausschnitt?
Ziehen mit Maus oder Finger dreht das Bild, das Mausrad zoomt. In dieser Animation sind Bogen und Grundkreisumfang pink: Der Bogen des Mantels ist genauso lang wie der Umfang des Bodens, 2 · π · r.
Hier stecken die Formeln in echten Fragen. Lies genau, was gefragt ist. Bei jedem Text gibt es eine Wörterhilfe. Aufgaben, die gerade gut zu dir passen, sind markiert.
Sechs Fragen ohne Taschenrechner. Wähle eine Antwort und sag, wie sicher du bist. Am Ende siehst du, was schon sitzt.