Worum geht es? Im rechtwinkligen Dreieck ABC (rechter Winkel bei C) fällt die Höhe h von C senkrecht auf die Hypotenuse c. Der Fußpunkt D teilt c in zwei Abschnitte: q (unter der Kathete b) und p (unter der Kathete a). Zwischen diesen Strecken gibt es zwei verblüffende Flächen-Gesetze.
Farben: Kathete a · Kathete b · Hypotenuse c · Abschnitte p, q · Höhe h · Flächen
1Höhensatz live
Frage: Ziehe die Ecke C auf dem Halbkreis hin und her. Was ist größer – das grüne Quadrat über der Höhe h oder das violette Rechteck aus p und q?
Grünes Quadrat h · h?Kästchen
Violettes Rechteck p · q?Kästchen
Abschnitte q und pändern sich
Höhe händert sich
Höhensatz (Euklid): Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe genauso groß wie das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten:
h² = p · q
Der Grund: Die Höhe zerlegt das Dreieck in zwei ähnliche Teildreiecke. Darum gilt h : q = p : h, und über Kreuz multipliziert: h · h = p · q.
h² = p · q
Der Grund: Die Höhe zerlegt das Dreieck in zwei ähnliche Teildreiecke. Darum gilt h : q = p : h, und über Kreuz multipliziert: h · h = p · q.
2Mach aus einem Rechteck ein Quadrat
Frage: Wie lang muss die Seite eines Quadrats sein, das genauso groß ist wie das Rechteck? Schätze zuerst!
Meine Schätzung: Seite ≈
Rechteck p · qFläche
Quadrat h · h?Fläche
Quadratseite h = √(p · q)?neue Strecke
Jedes Rechteck p × q lässt sich mit Zirkel und Lineal in ein flächengleiches Quadrat verwandeln: p und q aneinanderlegen, Thaleskreis darüber, Senkrechte am Trennpunkt. Die Senkrechte bis zum Kreis ist die Quadratseite
h = √(p · q)
Mit p = 1 bekommst du h = √q. So kannst du jede Wurzel als Strecke zeichnen – mehr dazu im Kapitel Wurzeln als Strecken.
h = √(p · q)
Mit p = 1 bekommst du h = √q. So kannst du jede Wurzel als Strecke zeichnen – mehr dazu im Kapitel Wurzeln als Strecken.
3Kathetensatz
Frage: Das Quadrat über einer Kathete soll in das große Quadrat über der Hypotenuse wandern – ohne dass sich seine Fläche ändert. Wo landet es? Wähle eine Kathete und schau zu.
Kathetenquadratbleibt gleich
Rechteckgleich groß
Formändert sich
Kathetensatz (Euklid): Jedes Kathetenquadrat ist so groß wie das Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Abschnitt:
a² = c · p b² = c · q
Scheren und Drehen ändern die Fläche nicht. Beide zusammen: a² + b² = c·p + c·q = c·(p + q) = c · c = c² – das ist der Satz des Pythagoras.
a² = c · p b² = c · q
Scheren und Drehen ändern die Fläche nicht. Beide zusammen: a² + b² = c·p + c·q = c·(p + q) = c · c = c² – das ist der Satz des Pythagoras.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (kompletter Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen – die Lösung rechnet sich mit.
Formeln im rechtwinkligen Dreieck (rechter Winkel bei C)
Höhensatzh² = p · q
Kathetensatza² = c · p b² = c · q
Pythagorasa² + b² = c²
Hypotenusec = p + q
FlächeA = c · h : 2 = a · b : 2
Merkeq liegt unter b, p liegt unter a.
Expertenniveau: Hier kommen Wurzeln vor, die nicht aufgehen. Lass sie exakt stehen und vereinfache sie (√20 = 2√5). Gerundet wird erst ganz am Ende (≈). Mit den drei Hilfen und „Ähnliche Aufgabe generieren“ arbeitest du wie gewohnt.
Formeln für Experten
Satzgruppe des Pythagorash² = p·q · a² = c·p · b² = c·q · a² + b² = c² · c = p + q
FlächeA = c·h : 2 = a·b : 2
Gleichseitiges Dreieckh = a/2 · √3 A = a²/4 · √3
Wurzeln vereinfachen√(k² · m) = k·√m, z. B. √48 = 4√3
1/√3 = √3/3
1/√3 = √3/3
QuadraturRechteck p × q → Quadrat mit Seite √(p·q) (Thaleskreis über p + q)
Zwei Lösungenp + q = c und p · q = h² → q² − c·q + h² = 0 → q = c/2 ± √(c²/4 − h²)
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagt dir der Halbkreis über den Winkel oben an der Spitze? Und was sagt der kleine Winkel unten an der roten Linie?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Spitze liegt auf dem Halbkreis, also ist dort ein rechter Winkel. Die rote Linie ist die Höhe, sie teilt die Grundseite in 4 und 9. Welches Quadrat ist so groß wie das Rechteck aus diesen beiden Abschnitten?Hilfe 3 – Lösung
Höhensatz: x² = 4 · 9 = 36, also x = 6.Probe mit Pythagoras: linke Seite² = 4² + 6² = 52, rechte Seite² = 9² + 6² = 117, zusammen 169 = 13² ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Quadrat und Rechteck haben dieselbe Farbe – was ist da wohl gleich? Und was sagen dir die zwei Striche an der langen Rechteckseite und an der Hypotenuse?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Striche heißen: Das Rechteck ist 25 lang, so lang wie die Hypotenuse. Gleiche Farbe heißt gleiche Fläche. Schreib die Fläche von Q und die Fläche des Rechtecks hin und setze beide gleich.Hilfe 3 – Lösung
Fläche von Q: 15 · 15 = 225. Fläche des Rechtecks: 25 · x.25 · x = 225, also x = 9.
Das ist der Kathetensatz: a² = c · p. Probe: Die andere Kathete ist √(625 − 225) = 20, und 20² = 25 · 16 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Die Mitte M steht da – aber welche Strecke ist von M aus genauso lang wie der halbe Durchmesser, obwohl sie nicht eingezeichnet ist?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zieh die Hilfslinie von M zur Spitze auf dem Bogen. Sie ist ein Radius, also 12,5 lang. Im kleinen rechtwinkligen Dreieck aus Radius, Höhe 12 und dem Stück zwischen M und dem Höhenfußpunkt kannst du das fehlende Stück ausrechnen.Hilfe 3 – Lösung
Radius = 25 : 2 = 12,5. Stück zwischen M und Höhenfußpunkt: d² = 12,5² − 12² = 156,25 − 144 = 12,25, also d = 3,5.x = 12,5 − 3,5 = 9.
Anderer Weg (Höhensatz): x · (25 − x) = 12² = 144. Welche zwei Zahlen mit Summe 25 ergeben 144? 9 und 16 ✓
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.