π nach Archimedes – Lernhilfe Klasse 10

Worum geht es? Einen krummen Kreisrand kann kein Lineal messen. Archimedes (vor über 2200 Jahren) hatte eine geniale Idee: Er sperrte den Kreis zwischen zwei Vielecke ein – eins innen, eins außen. Deren Umfänge kann man ausrechnen. Verdoppelt man immer wieder die Ecken, wird der Käfig immer enger – und π sitzt in der Falle.

1Eingesperrt zwischen zwei Vielecken

Der Kreis hat den Durchmesser d = 2. Wie oft passt der Durchmesser um den Kreis herum? Schätze zuerst!

Klicke eine Schätzung an – dann kannst du die Ecken verdoppeln.

bleibt gleich: Kreisd = 2, π ≈ 3,14159…

Ecken–

untere Schranke (innen)–

obere Schranke (außen)–

Lücke oben − unten–

Erklärvideo (Lehrer Schmidt)

Ecken n	untere Schranke U_innen : d	obere Schranke U_außen : d	Lücke

Grün: Diese Stellen stimmen schon mit π überein. Orange = Vieleck innen, blau = Vieleck außen, rot schraffiert = Ecken, die abgeschnitten werden.

Das innere Vieleck ist kürzer als der Kreisrand (die Gerade ist der kürzeste Weg zwischen zwei Ecken), das äußere ist länger. Teilst du alle Umfänge durch den Durchmesser d, so gilt für jede Eckenzahl n:

U_innen : d < π < U_außen : d

Mit Sechseck und Quadrat (wie im Bild am Anfang) heißt das: 3 < π < 4. Archimedes ist vom Sechseck aus fünfmal verdoppelt: 6 → 12 → 24 → 48 → 96. Beim 96-Eck gilt 3,1410 < π < 3,1427 – damit sind die ersten zwei Nachkommastellen sicher: π = 3,14…

2Die Verdopplungsformel

Kann man aus der Seite s_n des n-Ecks die Seite s_2n des 2n-Ecks ausrechnen – ganz ohne zu zeichnen? (Kreis mit Radius r = 1)

Schritt 1/8

Erklärvideo Höhensatz (Lehrer Schmidt) Erklärvideo Kathetensatz (Lehrer Schmidt)

Farben: Vielecksseiten s_n, s_2n · Hypotenuse CD · Höhe AF · Abschnitt x = CF · Umformungen. Höhensatz und Kathetensatz wiederholen: Kapitel B2.

s_2n = √2 − √4 − s_n² (Kreis mit r = 1)

Mehr braucht es nicht: Thales liefert den rechten Winkel, der Höhensatz liefert x, der Kathetensatz liefert die neue Seite. Startwerte: s₄ = √2 (Quadrat), s₆ = 1 (Sechseck).

3Die Rechenmaschine

Wenn du die Formel immer wieder anwendest: Wird die Näherung für π immer besser – ohne Ende?

Schätze – und rechne dann bis über eine Million Ecken.

Start:

Expertenbonus: stabile Formel daneben

Grün: Stellen, die mit π = 3,141592653589793… übereinstimmen. Der Rechner arbeitet – wie jeder Taschenrechner – mit etwa 16 gültigen Ziffern.

Achtung, da stimmt etwas nicht! Die rot markierten Werte in der Spalte „Formel“ passen nicht mehr zum Vieleck – und bald werden sie sogar wieder schlechter, obwohl die Vielecke immer genauer werden. Das ist kein Fehler im Bild, sondern ein Rundungsfehler: Auslöschung. Schalte den Expertenbonus ein und decke unten die Erklärung auf.

Bei vielen Ecken ist s_n winzig. Dann ist 4 − s_n² fast 4, die Wurzel daraus fast 2 – und in 2 − 1,99999999… ziehst du zwei fast gleiche Zahlen voneinander ab. Der Rechner kennt jede Zahl nur auf etwa 16 Ziffern. Bei der Subtraktion fallen die vorderen, gleichen Ziffern weg; übrig bleiben die hinteren – und genau die sind durch Rundung verfälscht. Man nennt das Auslöschung.

Der Trick: Erweitere mit 2 + √(4 − s_n²) und benutze die 3. binomische Formel:

s_2n²=2 − √(4 − s_n²)| · (2 + √(4 − s_n²)) : (2 + √(4 − s_n²)) =(4 − (4 − s_n²)) : (2 + √(4 − s_n²))| (a − b)(a + b) = a² − b² =s_n² : (2 + √(4 − s_n²)) s_2n=s_n : √(2 + √(4 − s_n²))| √

Mathematisch ist das dieselbe Formel. Aber jetzt wird nur noch addiert (2 + fast 2) und geteilt – es fällt nichts weg. Darum bleibt die stabile Spalte bis zum Schluss richtig. Ein guter Rechenweg ist also nicht nur richtig, sondern auch rundungsfest.

Kurze Geschichte der Jagd nach π

Archimedes (um 250 v. Chr.) rechnete vom Sechseck bis zum 96-Eck – ohne Taschenrechner, die Wurzeln schätzte er geschickt ab. Sein Ergebnis: 3¹⁰⁄₇₁ < π < 3¹⁄₇, also 3,1408… < π < 3,1428…
Ludolph van Ceulen (um 1600) verdoppelte mit derselben Idee so lange, bis er Vielecke mit 2⁶² Ecken hatte, und fand 35 Stellen von π. Er ließ sie auf seinen Grabstein schreiben; in Deutschland hieß π lange „Ludolphsche Zahl“.
Heute rechnen Computer mit viel schnelleren Formeln (unendliche Reihen) und haben schon Billionen Stellen von π bestimmt. Für fast alles in Technik und Naturwissenschaft reichen aber 15 Stellen.

So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (kompletter Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen – die Lösung rechnet sich mit. Das Zeichen ohne TR bzw. TR erlaubt zeigt dir, ob du den Taschenrechner brauchst – bei π-Näherungen mit vielen Stellen ist er erlaubt.

Farben: Radius r, Seiten s_n · Höhe h · Abschnitt x, Außenseite T_n · Fläche A · Hypotenuse · Umformung

Formeln – Vielecke im Kreis (Einheitskreis r = 1, d = 2)

StartwerteQuadrat: s₄ = √2 Sechseck: s₆ = 1
Bei Radius r: alle Längen mal r.

Verdopplungsformels_2n = √2 − √4 − s_n²
rundungsfest: s_2n = s_n : √(2 + √(4 − s_n²))

Umfang und πU_n = n · s_n U_n : d = U_n : 2 → π
innen < π < außen

Umbeschriebenes n-EckT_n = s_n : √1 − s_n²/4
Strahlensatz: T_n : s_n = r : MF

Rechtwinkliges DreieckPythagoras a² + b² = c²
Höhensatz h² = p · q
Kathetensatz a² = c · p

Fläche des n-Ecksh = √(r² − (s/2)²)
A = n · ½ · s · h Kreis: πr²

Knorz – eine Denkfigur ohne TR

Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?

Figur 1/3

Figur 1 · leicht

u =

Hilfe 1 – Denk-Baustein

Was sagt die Figur?

Alle sechs Ecken liegen auf dem Kreis um M, alle Seiten sind gleich lang. Was siehst du, wenn du M mit allen Ecken verbindest?

Hilfe 2 – Der Schlüsselschritt

Zieh die Hilfslinien von M zu allen Ecken. Es entstehen sechs gleiche Dreiecke mit 360° : 6 = 60° bei M – und zwei Seiten der Länge 7.

Hilfe 3 – Lösung

Zwei Seiten 7 mit 60° dazwischen: Das Dreieck ist gleichseitig, jede Sechseckseite ist 7 lang.
u = 6 · 7 = 42

Rückschau: Was war der entscheidende Schritt?

Vorschlag aufdecken

Die Hilfslinien von M zu den Ecken. Übrigens: Der Kreis mit Durchmesser 14 ist etwas länger als 42 = 3 · 14. Also ist π größer als 3.

Figur 2 · mittel

F =

Hilfe 1 – Denk-Baustein

Was sagt die Figur?

Der Kreis berührt das große Quadrat. Wo liegen die Ecken des violetten Quadrats – und wie lang ist eine seiner Diagonalen?

Hilfe 2 – Der Schlüsselschritt

Die Diagonalen des violetten Quadrats sind Kreisdurchmesser, also so lang wie die Seite des großen Quadrats: 12. Oder: Klapp die vier weißen Ecken-Dreiecke nach innen.

Hilfe 3 – Lösung

Quadratfläche aus den Diagonalen: 12 · 12 : 2 = 72.
F = 72 – genau die Hälfte von 12 · 12 = 144.

Rückschau: Was war der entscheidende Schritt?

Vorschlag aufdecken

Die Diagonale innen ist so lang wie die Seite außen. Der Kreis liegt dazwischen: 72 < π · 6² < 144, also 2 · 36 < π · 36 < 4 · 36. Damit liegt π sicher zwischen 2 und 4.

Figur 3 · knifflig

F =

Hilfe 1 – Denk-Baustein

Was sagt die Figur?

Zwölf gleiche Seiten, alle Ecken auf dem Kreis um M. Welche Dreiecke entstehen, wenn du M mit den Ecken verbindest – und welcher Winkel liegt jeweils bei M?

Hilfe 2 – Der Schlüsselschritt

Zwölf gleiche Dreiecke mit 360° : 12 = 30° bei M. Nimm in einem davon einen Radius (6) als Grundseite. Die Höhe darauf gehört zu einem halben gleichseitigen Dreieck – sie ist halb so lang wie 6.

Hilfe 3 – Lösung

Höhe 3, ein Teildreieck: ½ · 6 · 3 = 9.
F = 12 · 9 = 108 (also 3 · 6²).

Rückschau: Was war der entscheidende Schritt?

Vorschlag aufdecken

Im 30°-Dreieck die Höhe als halbes gleichseitiges Dreieck sehen. Und der Kreis ist größer als das Zwölfeck: π · 6² > 3 · 6², also π > 3 – ganz ohne TR.

Arbeitsblätter dazu

Die Kreiszahl π – Annäherung durch Vielecke (Word) – Herleitung der Verdopplungsformel, Tabelle s₈ bis s₆₄
Der Kreis – Umfang, Kreiszahl π und Flächeninhalt (Word) – vom Quadrat zum Zweiunddreißigeck mit Pythagoras

Vorher: A3 · Kreis: Umfang und Fläche · B1 · Pythagoras als Flächensatz

Nachbarkapitel: A5 · Möndchen: krumme Flächen ohne π