So arbeitest du: Jede Station beginnt mit einer Rechnung, die viele genau so falsch machen. Leg dich zuerst fest, was du vermutest. Dann schaust du hin: abspielen, umschalten, vergleichen. Erst danach deckst du auf, was dahintersteckt. Ganz unten wartet der Fehlerfahnder.
Farben: erster Bruch (orange) · zweiter Bruch (blau) · Ergebnis, Überlappung (violett) · falsche Rechnung (rot)
Station 1Der Nenner ist ein Name
Tim rechnet 12 + 13 = 25. Oben zusammen, unten zusammen – das sieht ordentlich aus. Stimmt sein Ergebnis?
Schritt 1/5
Andere Brüche:
Tims Weg: oben + oben, unten + unten–passt nicht zum Bild
Gleiche Sorte, dann zählen–der Nenner bleibt der Name
Probe mit einer Stunde–
Erst gleiche Sorte, dann zählen
Der Nenner sagt, wie das Stück heißt (Halbe, Drittel, Sechstel). Der Zähler zählt, wie viele solche Stücke da sind.Verschiedene Sorten kann man nicht zusammenzählen. Erst schneidest du feiner, bis beide Brüche dieselbe Sorte haben (gleichnamig machen, erweitern): 12 + 13 = 36 + 26 = 56
Dann zählst du nur die Stücke: 3 Sechstel + 2 Sechstel = 5 Sechstel. Der Name bleibt.
Kontrolle: Eine Summe ist nie kleiner als einer ihrer Summanden. Tims 25 ist kleiner als 12 – das kann nicht stimmen. Eine Stunde hilft auch: ½ h + ⅓ h = 30 min + 20 min = 50 min = 56 h.
Station 2Kürzen heißt bündeln, nicht wegnehmen
Lea soll 1824 kürzen. Sie zieht oben und unten 15 ab und erhält 39. Oben steht ja jetzt die 3 wie in 34. Ist 39 noch derselbe Anteil?
Andere Brüche:
Vorher–gefärbt von allen
Nachher–noch nichts getan
Anteil–
Kürzen = durch dieselbe Zahl teilen
Beim Kürzen packst du gleich viele Kästchen zu einem Paket – oben und unten durch dieselbe Zahl teilen. Der gefärbte Anteil bleibt genau gleich: 1824 = 18 : 624 : 6 = 34Wer oben und unten dasselbe abzieht, nimmt nur gefärbte Kästchen weg. Der Anteil schrumpft: 39 ist nur ein Drittel.
Genau dasselbe passiert, wenn du aus einer Summe „kürzt“: 3 + 53 + 7 = 810, aber nicht 57. Die 3 wegstreichen heißt oben und unten 3 abziehen.
Regel: Kürzen darfst du nur Faktoren (Malpunkte), nie Summanden.
Station 3Anteil vom Anteil
„Malnehmen macht größer“ – das hast du jahrelang erlebt. Ist 23 · 34 größer oder kleiner als 34?
Schritt 1/4
Andere Brüche:
Nenner · Nenner–so viele kleine Felder hat das Ganze
Zähler · Zähler–so viele Felder sind violett
Ergebnis–
„von“ heißt mal
23 · 34 bedeutet: Nimm 23 von 34. Das Rechteck zeigt, warum man so rechnet: 23 · 34 = 2 · 33 · 4 = 612 = 12Nenner mal Nenner = Anzahl aller kleinen Felder. Zähler mal Zähler = Anzahl der doppelt gefärbten Felder.
Nimmst du von etwas nur einen Teil (Faktor kleiner als 1), wird es kleiner. „Malnehmen macht größer“ gilt nur für Faktoren größer als 1.
Falle: Über Kreuz rechnen (2 · 4 und 3 · 3) gehört nicht hierher – das ist eine Verwechslung mit dem Teilen.
Station 4Wie oft passt es hinein?
Teilen macht kleiner – meistens. Wie viel ist 3 : 12? Leg dich fest, bevor du misst.
Andere Aufgaben:
So oft passt der Stab–gemessen
Mit dem Kehrwert des Teilers–passt zur Messung
Kehrwert vom falschen Bruch–passt nicht zur Messung
Teilen durch einen Bruch = mal Kehrwert des Teilers
3 : 12 fragt: Wie oft passt ein halbes Stück in 3? In jedes Ganze passt es 2-mal, in 3 Ganze also 6-mal: 3 : 12 = 3 · 2 = 6.Allgemein: ab : cd = ab · dc – umgedreht wird nur der Bruch, durch den du teilst (der zweite).
Fallen: Wer den ersten Bruch umdreht, bekommt den Kehrwert des richtigen Ergebnisses. Wer „durch ½“ als „halbieren“ liest, rechnet 3 : 2 statt 3 : ½.
Kontrolle: Ist der Teiler kleiner als 1, wird das Ergebnis größer. Ist der Stab länger als die Strecke, passt er weniger als einmal – das Ergebnis ist kleiner als 1.
Station 5Fehlerfahnder
In jeder dieser Rechnungen steckt genau eine typische Bruch-Falle. In welcher Zeile? Tipp die Zeile an, die du verdächtigst. Zeilen davor sind richtig, Zeilen danach rechnen nur sauber mit dem Fehler weiter.
Fallen entdeckt0 von 6in dieser Runde
Zeilen geprüft, die stimmten0auch das ist Fahndungsarbeit
Häufigste Falle im Alltagoben + oben, unten + untenbeim Addieren
So fahndest du selbst
Geh Zeile für Zeile und frag dich: Bis wohin stimmt es? Für jede Rechenart gibt es eine Prüffrage:· Plus/Minus: Haben beide Brüche schon denselben Namen (Nenner)? Ist die Summe größer als jeder Summand?
· Kürzen: Wurde geteilt – oder abgezogen, gestrichen? Stehen oben und unten nur Malpunkte?
· Mal: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner? Bei einem Faktor unter 1 muss es kleiner werden.
· Durch: Wurde der zweite Bruch umgedreht? Passt das Ergebnis zu „Wie oft passt es hinein?“
Simon Stevin: Brüche, die alle gleich heißen belegt
Brügge, ca. 1548 – Den Haag, 1620 · Büchlein „De Thiende“ (Das Zehntel), 1585
Stevin war Buchhalter, Ingenieur und Festungsbauer. Ihn ärgerte, wie mühsam Kaufleute mit Brüchen wie 712 oder 516 rechneten. 1585 schlug er in einem dünnen Büchlein vor: Nimm nur noch Zehntel, Hundertstel, Tausendstel – dann stammen alle Nenner aus derselben Familie, und du rechnest fast wie mit ganzen Zahlen. Er schrieb die Stellen noch mit kleinen Ziffern im Kreis; das Komma setzte sich erst später durch. Die Pointe: Stevin forderte auch Maße und Münzen im Zehnersystem – Wirklichkeit wurde das erst gut 200 Jahre später mit dem Meter.
Was das mit dir zu tun hat: Wenn du 0,5 + 0,25 rechnest, nutzt du Stevins Trick: 50 Hundertstel + 25 Hundertstel = 75 Hundertstel. Gleiche Sorte, dann zählen – genau wie in Station 1.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und rechne zuerst allein im Heft. Trag dein Ergebnis ein und drück Prüfen. Tappst du in eine bekannte Falle, sagt dir die Seite, welche es ist. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Lücken) und zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Brüche tippst du so: 3/4, gemischte Zahlen so: 1 1/2.
Die Grundregeln – mit Bild im Kopf
Plus und minusErst gleichnamig machen (gleiche Sorte), dann nur die Zähler rechnen. Der Nenner ist der Name und bleibt.
Kürzen und erweiternOben und unten mit derselben Zahl malnehmen oder durch sie teilen. Nie abziehen, nie Summanden streichen.
MalZähler · Zähler, Nenner · Nenner. „von“ heißt mal.
n · ab = n · ab (n Stück der Sorte b-tel)
n · ab = n · ab (n Stück der Sorte b-tel)
DurchMit dem Kehrwert des zweiten Bruchs malnehmen. Frage dazu: Wie oft passt es hinein?
So arbeitest du: Erst selbst rechnen, dann eintragen und prüfen. Hilfe 1 → 2 → 3, wenn du feststeckst. Neue Zahlen gibt es mit „Ähnliche Aufgabe generieren“.
Werkzeuge für das mittlere Niveau
HauptnennerKleinste Zahl, die in beiden Nennern steckt (kleinstes gemeinsames Vielfaches), z. B. 4 und 6 → 12.
Gemischte Zahlen2 12 = 52. Vor dem Malnehmen immer in einen unechten Bruch verwandeln.
KehrwertZähler und Nenner tauschen: 34 → 43, 5 → 15
Kürzen nur aus Produkten3 · 53 · 7 = 57 ✓ 3 + 53 + 7 ≠ 57
So arbeitest du: Hier stecken die Fallen in längeren Rechnungen und Sachaufgaben. Zeichne zu jeder Sachaufgabe einen Streifen (Balken) – er verrät, welcher Anteil von welchem Ganzen gemeint ist.
Werkzeuge für Experten
BalkenmodellGanzes als Streifen, in b gleiche Stücke teilen. ab sind a Stücke. Kennst du a Stücke, kennst du ein Stück – und damit das Ganze.
Anteil vom RestErst den Rest bestimmen, dann davon den nächsten Anteil nehmen: G · 23 · 34
DoppelbruchOben und unten erst ausrechnen, dann teilen. Nie einen Summanden „wegkürzen“.
Mal oder durch?Faktor < 1: Produkt wird kleiner, Quotient größer. Faktor > 1: umgekehrt.
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3leichtohne TR
Figur 1 (leicht)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die kleinen Striche, ohne dass es dasteht? Welche Stücke sind gleich lang – die mit einem Strich, die mit zwei Strichen?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Ein Strich: Der Streifen ist in drei gleiche Teile geteilt. Zwei Striche: Das letzte Drittel ist noch einmal in vier gleiche Teile geteilt. Wie lang ist ein Drittel, wie lang ein kleines Stück?Hilfe 3 – Lösung
Ein Drittel: 36 : 3 = 12. Ein kleines Stück: 12 : 4 = 3.x besteht aus einem ganzen Drittel und zwei kleinen Stücken: x = 12 + 2 · 3 = 18.
Als Bruch: 13 + 212 = 412 + 212 = 12 des Streifens – genau die Hälfte von 36.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 2 (mittel)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die Striche an den Rändern? In wie viele gleiche Teile ist die obere Seite geteilt, in wie viele die linke? Wie viele gleich große Felder entstehen, wenn du alle Teilungen durchziehst?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Zieh alle Linien durch: 3 Spalten mal 4 Zeilen = 12 gleiche Felder. Das violette Stück besteht aus 2 · 3 = 6 Feldern, das Eckfeld x ist genau 1 Feld.Hilfe 3 – Lösung
Violett: 23 · 34 = 612 des Rechtecks, das sind 6 Felder mit zusammen 18.Ein Feld: 18 : 6 = 3. Das Eckfeld ist 13 · 14 = 112, also ein Feld: x = 3.
Probe: Das ganze Rechteck hat 12 · 3 = 36, die Hälfte davon ist 18 ✓.
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.
Figur 3 (knifflig)
x = ?
Hilfe 1 – Denk-Baustein
Was sagt die Figur? Was sagen dir die Striche auf der oberen und der rechten Seite? Und was liegt um das violette Dreieck herum – lässt sich das leichter ausrechnen als das Dreieck selbst?Hilfe 2 – Schlüsselschritt
Die Striche markieren Seitenmitten (je 6 von der Ecke). Um das violette Dreieck liegen drei weiße rechtwinklige Dreiecke. Jedes ist ein halbes Rechteck. Rechne sie aus und zieh sie vom Quadrat ab.Hilfe 3 – Lösung
Quadrat: 12 · 12 = 144.Weiße Dreiecke: links oben 12 · 6 : 2 = 36, rechts oben 6 · 6 : 2 = 18, unten rechts 12 · 6 : 2 = 36.
x = 144 − 36 − 18 − 36 = 54.
Als Bruch: 54 von 144 sind 54144 = 38 des Quadrats (gekürzt durch 18).
Rückschau: Was war der entscheidende Schritt? Sag ihn in einem Satz – vielleicht hilft er dir bei der nächsten Figur.