So geht's: Hier probierst du zuerst aus und schaust genau hin. Bei manchen Stationen sollst du vorher schätzen. Die Formel steckt jeweils hinter dem Knopf „Aufdecken“ – erst denken, dann aufdecken!
Farben: Radius r, Durchmesser d · Umfang U · Fläche A · Kacheln: grün = bleibt gleich, rot = ändert sich
1Zwischen 3 und 4
Wie oft passt der Durchmesser um den Kreis herum?
Deine Schätzung: mal
Sechseck-Umfang 3 · dinnen
Kreisumfang Udazwischen
Quadrat-Umfang 4 · daußen
Kreis: U : d≈ 3,14immer gleich – bei jedem Kreis
Das steckt dahinter
Das Sechseck innen besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken. Jede Seite ist so lang wie der Radius: Umfang = 6 · r = 3 · d. Das Quadrat außen hat die Seite d: Umfang = 4 · d. Der Kreis liegt dazwischen:3 · d < U < 4 · d Genauer gemessen: U : d = π ≈ 3,14
Die Zahl π („Pi“) ist bei jedem Kreis gleich. Ihre Nachkommastellen hören nie auf und wiederholen sich nicht.
2Ein Rad rollt ab
Ein Rad hat den Durchmesser 1. Wie weit kommt es mit einer einzigen Umdrehung?
Drehwinkeländert sich
Abgerollter Weg (orange)Weg = Winkel · r
Durchmesser d1bleibt gleich
Weg nach 1 Umdrehungπ · d ≈ 3,14immer so
Das steckt dahinter
Bei einer Umdrehung rollt das Rad genau seinen Umfang auf dem Boden ab. Der Durchmesser passt 3-mal hinein, und ein kleiner Rest von etwa 0,14 d bleibt übrig.U = π · d = 2 · π · r mit π ≈ 3,14
3Torte wird Rechteck
Kann man eine runde Torte so zerschneiden und umlegen, dass fast ein Rechteck entsteht?
Stücke nändert sich
Breite der Reihewird fast π · r = 9,42 cm
Höhe der Reihewird fast r = 3 cm
Fläche der Torte (r = 3 cm)bleibt gleich – nur umgelegt
Das steckt dahinter
Die blauen Bögen oben sind zusammen der halbe Umfang, die orangen unten auch. Halber Umfang = (2 · π · r) : 2 = π · r. Die Höhe ist der Radius r. Je mehr Stücke, desto genauer ist es ein Rechteck:A = Breite · Höhe = π · r · r = π · r²
4Ein Seil um die Erde
Ein Seil liegt straff um den Äquator (40 000 km). Jetzt soll es überall 1 m über dem Boden schweben. Um wie viel musst du das Seil verlängern?
Schätze:
oder m
alter Umfang 2 · π · rändert sich
neuer Umfang 2 · π · (r + 1 m)ändert sich
Verlängerung = neu − altimmer gleich!
Das steckt dahinter
Der Radius wird um 1 m größer. Rechne den Unterschied der Umfänge aus:2 · π · (r + 1 m) − 2 · π · r = 2 · π · r + 2 · π · 1 m − 2 · π · r = 2 · π · 1 m ≈ 6,28 m
Das r fällt heraus! Darum ist die Verlängerung bei einem Tennisball genauso groß wie bei der Erde oder der Sonne.
So arbeitest du: Klicke eine Aufgabe an und versuche sie zuerst allein im Heft. Kommst du nicht weiter, hole dir Hilfe 1 (Denk-Baustein: eine Frage, die du dir selbst stellen kannst), dann Hilfe 2 (Vorgehen und Formel mit Lücken) und erst zum Schluss Hilfe 3 (Lösungsweg). Mit „Ähnliche Aufgabe generieren“ bekommst du neue Zahlen. Rechne mit π ≈ 3,14 – alle Aufgaben hier gehen ohne Taschenrechner.
Formeln – Kreis
Durchmesser und Radiusd = 2 · r r = d : 2
UmfangU = 2 · π · r = π · d
2 · 3,14 = 6,28
2 · 3,14 = 6,28
FlächeA = π · r² = π · r · r
Rückwärtsr = U : (2 · π) = U : 6,28
Mittleres Niveau: Hier rechnest du auch rückwärts (mit Wurzel), rechnest Einheiten um und löst Sachaufgaben. Rechne mit π ≈ 3,14.
Formeln – Kreis rückwärts
Umfang und FlächeU = 2 · π · r = π · d
A = π · r²
A = π · r²
Radius aus der FlächeA : π = r² | √
r = √(A : π)
r = √(A : π)
Durchmesser aus dem Umfangd = U : π = U : 3,14
Umdrehungen eines RadesAnzahl = Strecke : Umfang
(gleiche Einheit!)
(gleiche Einheit!)
Flächeneinheiten1 m² = 100 dm² = 10.000 cm²
1 dm² = 100 cm²
1 dm² = 100 cm²
Expertenniveau: Hier musst du begründen, vergleichen und mehrere Schritte planen. Rechne mit π ≈ 3,14.
Formeln und Ideen für Experten
GrundformelnU = 2 · π · r A = π · r²
Radius um a größerDer Umfang wächst um 2 · π · a – egal wie groß r ist.
Radius mal kUmfang mal k, Fläche mal k²
Rad und StreckeStrecke = Umdrehungen · Umfang
Kreis gegen QuadratQuadrat: U = 4 · a, A = a²
Knorz – eine Denkfigur
Nur eine Figur und eine Frage. Kein Text, kein Formelname – was siehst du?
Figur 1/3